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r \
EXERCICES MÉTHODIQUES
UE
CALCUL DIFFÉREJNTIEL.
\
/
ûV\
X^
Autre ouvrage du même auteur :
Exercices méthodiques de Calcul intégral.
Déposé conformément à la loi.
Tout exemplaire non revêtu de la signature de l'auteur sera réputé contrefait.
Bi-uxelles. — H ayez, imprimeur^
BXIRCIGBS MiTHODIQUBS
DE
CALCUL DIFFÉRENTIEL,
PAR
M. Ed. BRAHT,
I
DOCTEUR EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES, CONDUCTEUR
HONORAIRE DES MLVES,
ANCIEN PROFESSEUR U' ATHÉNÉE.
NOUVELLE ÉDITION ENTIÈREMENT REVUE.
PARIS,
LIBRAIRIE GAUTHIER -VILLARS & FILS,
Quai des Grands-Augustins, 55
1898
nr..,. .;,... , . , • . j^
224097B
7. i.l •;•-.«■ I ■ «"'ATÎONS
i: 1U43 L
PRÉFACE.
iMoQ seul but en publiant ce recueil d'exercices,
est d'être réellement utile aux jeunes gens qui
abordent le calcul infinitésimal.
Pour atteindre ce but, le moyen le meilleur m'a
paru de rappeler en tête de chaque partie traitée
les résultats principaux de la théorie, puis de déve-
lopper quelques exemples d'application^ de telle sorte
que la marche dans des questions semblables fût
clairement tracée; enfin, de présenter, à la suite,
un nombre suffisant d'exercices du même genre, en
ne fournissant que les réponses, afin de laisser à
rélève, dans le raisonnement et dans le calcul, cette
initiative qui seule conduit à de véritables progrès.
Autant que possible, j'ai disposé la matière de
manière à graduer la difficulté, et quand celle-ci,
trop grande, m aurait semblé devoir rebuter l'étu-
diant, j'ai indiqué, quelquefois détaillé, le procédé
(^ de résolution.
^ Quoique bon nombre d'exercices m'appartiennent
^ et que j'en aie laborieusenaent vérifié les solutions,
^ je ne les réclame point comme miens ; ils ne consti-
fSi tuent qu'un travail d'imitation destiné à combler des
ri lacunes dans l'arrangement adopté ou à mettre
M PRÉFACE.
cerlains points de la théorie en lumière. Les autres
questions ont été puisées principalement dans les
recueils anglais et allemands, abondants sur le même
sujet.
J'ai rarement indiqué les sources; cesl que le plus
souvent, pour trouver les véritables, il faut remonter
aux auteurs qui, les premiers, ont écrit sur le calcul
inûnitésimal ou à ceux qui y ont introduit des
théorèmes nouveaux et féconds; les ouvrages de ces
grands mathématiciens sont cités dans les cours.
Daùs mon désir dé présenter un travail métho-
dique et complet, j'ai consacré cinq chapitres à la
différentialion proprement dite, le dernier de ceux-ci
à un essai sur la différentiation des équations, sujet
qui ne reçoit pas toujours l'extension que son impor-
tance exige. Plus loin, j'ai offert des applications du
développement des fonctions non seulement par les
théorèmes de Taylor et de Maclaurin, mais encore
par celui de Lagrange. Enfin, j'ai traité dans le
dernier chapitre de la décomposition des fractions
rationnelles en fractions plus simples, question qu'il
est nécessaire d'étudier avant d'aborder le calcul
intégral et à la résolution de laquelle je n'ai employé
que les procédés fournis par le calcul différentiel ;
les autres, le plus souvent moins rapides, étant du
ressort de l'algèbre
TABLE DES MATIÈRES.
Préface i
Chap. 1er. __ DilJmnliaiion des fonctions eocplicites (TtineseiUe
vmnable 1
~ II. — Différentiation des fonctions explicites de plusieurs
variables 15
-^ III. — Dérivées successives des fonctions explicites d'une
seule variable 19
— IV. — Dérivées successives des fonctions expliates de
plusieurs variables 32
— V. — Différentiation des équations 39
— VI. — Développement des fonctions 54
— VIL — Changement de variables 79
— VIII. — Élimination des constantes et des fonctions . . 96
— IX. — Détermination des fonctions qui, pour certaines
valeurs de la variable, deviennen t indéterminées . 104
— X. — Maxima et minima 116
— XI. — - Tangentes et normales des courbes planes . . . 158
— XII. — Asymptotes 169
viii TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
Chap. XIII. — Points singuliers des courbes planes .... 181
— XIV. — Courbure des courbes planes 196
— XV. — Surfaces 206
— XVI. — Courbes gauches 218
— XVII. — Enveloppes des lignes et des surfaces .... 232
— XVIII. — Décomposition des fractions rationnelles . . . 247
FIN DE LA TABLE l»ES MATIÈRES.
EXERCICES MÉTHODIQUES
DE
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
CHAPITRE I.
différentiation des fonctions explicites
d'une seule variable.
Nous supposons connus les principes généraux de la déri-
vation et de la différentiation, mais nous croyons utile de
rappeler sommairement les théorèmes sur les dérivées et
les différentielles des fonctions dont on fait immédiatement
usage dans le calcul différentiel.
Dans l'énoncé de ces théorèmes, u, v, w, etc., repré-
sentent des fonctions de x\ a, une quantité constante.
1. La dérivée d'une quantité constante est nulle.
2. La dérivée d'une somme algébrique de fonctions est
égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.
Soit
t/ = w — V -{-w àz etc.
On a
dy du dv dw
dx dx dx dx
3. La dérivée du produit de plusieurs fonctions est égale
à la somme que l'on obtient en multipliant la dérivée de
1
2 EXERCICES MÉTHODIQUES
chaque fonction par le produit des autres fonctions et addi-
tionnant les résultats.
Soit
y = u\)W ...
La dérivée est
dy du dv dw
-1- = t?ti; . . , - — |- wu? ... f- wy ... - — [- •••
dx dx dx dx
Ce théorème, en vertu du premier, renferme le suivant :
4. La dérivée du produit d'une fonction par une con-
stante est égale au produit de la dérivée de cette fonction
par la constante.
Soit
y = au.
Le théorème donne
dy du
dx dx
5. La dérivée du quotient de deux fonctions, ou d'une
fraction dont chacun des termes est une fonction, est égale
au dénominateur multiplié par la dérivée du numérateur,
moins le numérateur multiplié par la dérivée du dénomi-
nateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
Soit .
u
.7=--
Le théorème fournit
du dv
dy dx dx
dx V-
6. La dérivée d'une fonction de fonctions est le produit
des dérivées de ces fonctions, prises chacune par rapport à
la variable qu'elle contient.
Soit une fonction u de x déterminée par les équations
M«F(r), z^fiy), y = f{x).
On obtient
ou
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 3
(lu du dz dy
dx dz dy dx
g=F'(z)./-'(y).y'(x),
suivant les notations admises.
7. La dérivée d'une fonction composée de plusieurs
autres fonctions est égale à la somme des dérivées de la
fonction composée prises successivement par rapport à
chacune des fonctions composantes.
Soit
y = F(m, V, M?...).
Le théorème donne
dy dy du dy dv dy dw
dx du dx dv dx dw dx
Observation. — En remplaçant dans les énoncés le mot
dérivée par le mot différentielle, les théorèmes précédents
s'appliquent aux différentielles.
8. La dérivée d'une fonction inverse d'une autre fonction
dont on sait trouver la dérivée est égale à l'unité divisée
par cette dernière dérivée.
Soient
y = F(x) et x = f{y)
deux fonctions inverses.
Le théorème fournit
F'(x)«
EXERCICES MÉTHODIQUES
Tableau des différentielles des fonctions simples.
(Dans ce tableau, comme dans tout ce qui suit, la caractéristique Log indique
logarithme pris dans un système quelconque, et log un logarithme népérien.
dx
d . Log X =s Log e —
X
dx
rf . log a; = — •
x
d ,a' = a'io^adx.
rf . e* = e'dx,
d . sin X = cos x dx.
d . cos X = — sin X dx.
dx
d . tang x =
2l/x
d . cotg x = —
cos-x
dx
sin*x
, sin X dx
d . sec X = —
cos*x
cosxdx
o . coséc X —s
sin*x
d . sin vers x s= sin xdx.
dx
d . arc sin x =
d . arc cos X == —
l/l— X*
dx
d . arc tang x
d . arc cotg x =
dx
1+x^
dx
1 +x*
d . arc sec x =
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 3
dx
d . arc coséc x =a —
dx
d . arc sin vers x =
dx
V^x — x^
En divisant par dx les deux membres de chacune des
égalités contenues dans le tableau qui précède, on obtient
les dérivées des fonctions simples.
Mais ce qu'il importe au plus haut point de remarquer,
c'est que, dans le tableau, x représente non une simple
variable, mais toute fonction explicite de x.
Il faut donc que les élèves, en traduisant en langage
ordinaire les expressions que le formulaire renferme, exer-
cice préparatoire que Ton ne saurait trop recommander,
prêtent à x la signification de fonction.
dx
Ainsi l'égalité d . log x = — se traduira :
X
La différentielle du logarithme népérien d'une fonction
est égale à la différentielle de la fonction, divisée par la
fonction.
Ou, puisque
d . log X \
dx X
La dérivée du logarithme népérien d'une fonction est
égale à l'unité divisée par la fonction.
Nous ne saurions trop insister sur ce point, et les exem-
ples suivants prouveront l'importance du conseil.
Exemple 1.
Soit à différentier, par rapport à x, la fonction explicite
y = sin l/a* — x^.
(î EXERCICES MÉTHODIQUES
C'est avoir à chercher la différentielle du sinus de la
fonction
Or, d'après le tableau, la différentielle du sinus d'une
fonction est égale au cosinus de la fonction multiplié par
la différentielle de la fonction.
Donc
(ly = cos\/u*^x* c/.l/a* — jc*. . . . (i)
D'autre part, la différentielle de la racine carrée d'une
fonction est égale à la différentielle de la quantité sub-radi-
cale, divisée par deux fois le radical.
Par conséquent,
et, en substituant dans (1) celte valeur de d . l^a* — a:*,
i .
dy = — -^==2 cos K tt* — a' d . (a* — ar*). (5)
2V/a* — a*
En troisième lieu, la difl'érentielle d'une somme algé-
brique de fonctions est égale à la somme algébrique des
différentielles de ces fonctions, d'où il suit que
f/.(a' — a;«) = d.a*--d.x* . . . . (4)
D'après le théorème I, la différentielle de a' est nulle ; et
d'après le tableau, la différentielle de x*' est ^xdx\ donc
rf.(a* — x*) = — âxrfx (5)
Substituant dans (3) cette valeur de rf . (a* — a;"), on
trouve enfin
XrfX y
rfy — :;zzzzz: cos ko* — x* . . . (6)
Va^ — X*
pour la différentielle cherchée.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 7
La dérivde est
-7- = zzz=r <ios I/o' — j*. ...(")
dx \/a«— X»
Telle est la solution développée de la question. Mais les
énoncés des théorèmes, ceux des règles de la différenlia-
tion, les substitutions successives et les différentiations
elles-mêmes devront être faits, autant que possible, men-
talement; de sorte que, avec Thabitude, on arrive à écrire
pour ainsi dire immédiatement une différentielle cherchée.
Ainsi, dans l'exemple précédent, on arrive aisément à l'ex-
pression (G) sans écrire les intermédiaires (1), (2), (3), (4)
et (5).
A la vérité, pour résoudre la question, on aurait pu
poser
et se proposer de trouver la différentielle de la fonction de
fonction
y ^=s\nZy z = [/a* — x* ;
mais sans employer cette manière indirecte, que l'on écar-
tera autant que faire se peut, on arrive plus promplement
au résultat par le procédé mental indiqué.
.Exemple II.
Soit à chercher la différentielle de
a + X a — X
y = arc tang
a — X a + x
D'après le théorème 3,
a-4'X a — X a — x a-j-x
rft/== rf.arctann; 1- arc tang d. (1)
^ a — X °a + x ' ^a + x a — x
8 EXERCICES MÉTHODIQUES
Or, d'une part, d'après le tableau des différentielles,
'a — x^
d
a . arc tang
\a + x/
ou, en effectuant la différentiation indiquée au numérateur
du second membre (théorème S),
— {a-{' x)dx — (a — x) dx
, a — X (a + X»'
a . arc tang
ou, en simplifiant,
a — X adx
(i . arc tang —— = — — -. , . . (â)
D'autre part,
, a + ^ (« — x)dx + ia4- x)dx , , ^
d.—^—=^ \ \, » (théorèmes),
a — X (a — x)*
ou
.a + x 2arfx
d, ..... (3)
a — X (a — x)* ^ '
Substituant dans (1) les valeurs de
a — X. a -f- X
d . are tang — ; — et de d .
a + x a — X
fournies par (2) et (3), on a, toutes réductions effectuées,
a I ^ a — X a + x\,
dy = arc tang — — — - dx.
a^x\a — X o + x o' + xV
D'où
dy a I ^ a — x o + x\
_ = ( arc tang —| — — j •
dx a — x\a — x a + x a" + xV
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 9
Du reste, la dérivée s'obtiendrait en premier lieu en
appliquant, dans le procédé, et les théorèmes sur les déri-
vées et le tableau des dérivées des fonctions simples.
Mais ce qu'il est important d'observer, c'est que l'habi-
tude de se servir des théorèmes et des règles permet d'écrire
immédiatement la ditTérenlieile de la fonction proposée
comme suit :
— {a-\' x) (ix — (a — x) dx
a + x (ci -I- x)*
la — xV
a
\ A- l-
a — X {a — x)dx -\'(a'\' x)dx
-{- arc tang
a + X (a — x)'
expression qu'il n'y a plus qu'à simplifier pour obtenir le
même résultat que précédemment.
Exemple lll.
Soit encore à chercher la différentielle de
5 13
2
(x — \)*{x — 3j
^^ (x — %^
Prenant les logarithmes des deux membres, il vient
Hy=-^^^^ [^ — ^) +-^ *^S(^ "" 3) — 8log(x — 2),
et la diiférentiation donne
du 5 dx i5 dx dx
+ — 8
y î2 X — 1 2 x— 3 X — 2
ou
y [2(x— l)^2(x-ô) X — 2j
ou encore
dy x' -f 4
y (x-i)(x — 2)(x-3)
dx.
\
dO EXERCICES MÉTHODIQUES
D'où
iS
dy == ■ X -^ dx
^ (x — 1) (X — 2) (x - 3) '^ (X- — 2)»
(x» + 4)(x — 1)«(x — 3^ ^^
(X - 2/ ' ""'
11 est souvent avantageux d'opérer, comme dans cet
exemple, quand la fonction est un produit de facteurs
élevés à des puissances.
X X* x' X* x""*"*
• 1j ^ «Ij aij o 5t • à fci « 1 t" *'* "l
i • i.2 ' 1.2.3 ' 1.2.3.4 ' ' 1.2.3...(w+l)
^ = 6-.
dx
« 7
2. e/ = 55(a — fix)"^ — ()Oa(a - bxf.
du l
-l = 846«x(a- hx)\
dx
/ ? 1 * ,1
3. ^ «= \ ax* + 6x^ + ex* i*.
3 i 4 i 5 1
— ax^ -I — 6x' A — ex*
rfff 2 ^3 ^4
2Ux*+6x*+cx*]*
4. y=:log(sccx).
du
-— = tang X.
dx
5. y = (arc sin vers x)*.
dy 2 arc sin vers x
dx l/ix — X*
G. t/ = log(sin"x).
-^ es n colg X.
ax
DE CALCUL DIFFÉUENTIEL. ^
7. y = langjc + -iang'x.
5
dx cos*a;
8. y «■ log [(a + 6x»)' (a' + ô'^"')*] .
9. y=,(3a: + 2)(x— 1)1
rfy 15 L
dx 2 ^ ^
iO. y os arc taDg
x + 2
dy 1/3
dx 2(x* + x + i)*
^^^^_a-(xloga-i)
log* a
dt/
-;- «= xa .
ox
il y — log[log(l+x*)].
dy 2x
dx (i+x*jlog(l+x*)
15. y = 2e*^ (x* — 3x + 6x^ — e).
U.
y «= arc cos
dx
i— x'
1+x*'
dy 2
dx 1 + X
dy fi
/ = I'"'*"/ __L^|ogx+ arc sinx^ - •
12 EXERCICES MÉTHODIQUES
e"* (o cos bx -\-b sin bx)
i6. y =
^^
-p. =s e'^ cos ox.
ax
17. y = log
1^1 +x*
rfx ^(i + **)
18. y = X (o^ — x^) Va" + x^
rfy a* — a*x* — 4x*
y
y
6-
dx
-2cx
i/;
19.
l*+X*
6»-|-4ac
Va +
BM arc séc
6x —
rft/
e/x
oc
21/^
CI*
20.
2 (a
!l/5
-{- 6x — ca
3
^ + x-
1
1
^^ xl/x* + x — i
-£ = e<«+'*) «« ""B'(| -|- 2x arc tang x
22. y - log X - a) ; /
(X — O)
rfy x' -|- a*
23. y =
rfx (x — o)*
sin X
i -|- tang X
rft/ cos'x — sin'x
dx (sin X -[- cos xf
DE CALCUL DIFFÉRENRIEL. d3
6
24. y = 5(x+ 4)«(i76a:»— i65x' + 150x— 128).
dy i
■î^«3696x'(x + i)^
dx
25. y = arc tang f arc sin -1 •
dy i
dx
l/a* — X* 1 + (arc sin -1
1
. . sin (a — 6 + c) X . sin laA-b — e)x
26. y = i ! — i î — ! —
a — 6-}-c a-|-6 — c
sin (a — b — c)x sin (a + 6 + c) x
a — b — c a-j-6-|-c
-- =s 4 cos ax sin 6x sin ex.
dx
27.y=(— ^H 5-)sinx.
VCOS* X cos* x/
rfy 8 3
dx cos^ X cos X
28. y = 1^
(x — 2)»
dy X — 4
5x"^ ï ï
6(x — i)*(x — 2f
29. y = a<
— = fia* a»~* log o.
c«x
,^ 2 arc sin X . , 4 — x
dy 2x arc sin x
dx"" JF*
(i — x*j*
14 EXERCICES MÉTHODIQUES
r X— n
3i . 2/ ss arc tang tang •
dy 2
dx {oc -{-if
2 5 cos a* . , X
52. y=-^-^ rT- + 3iogtang-
sin* X cos X sivr x 2
rfi/ 2
rfo" siii' X cos* X
dx (a«_a: + i)l/a:* + a;*+i
34. y B« arc tang — -— •
6 + a cos X
dy Va^ - 6*
55. y = log
f/x a + 6 cos X
KO -}- ^^ — l/a — 6x
Va + bx + Va — bx
dy a
^'^ X l/a^ — 6V
56. y — (log X — 1) l/a* + X* ~ - log^ '*'"^"'' i'
2 l/a« + a-^ + a
c/y X log X
8 ^ 59 2744
37. y = log(3x — 8)*»»
(3x — 8)=
rff/ __ x' + 5x + 4
5J "" (3x _ 8)*
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. iV,
38. y = log [(X - 3)* + 4] [(x - 4/ + 9)]^
. 9 X — 5 , ^ X — 4
-f- - arc tang 1- 7 arc lang — - —
(lij 2(5a ' — 1 Ga* + Ux + 70)
dx a*— 14.1' -f- 86a^— 254x + 325
59. t/
/ x\/ ah — cd +
V xK/ al) — cd —
\/hc -}- a6j
dx
\b + e/x») l/r; + ax
sm'x cos'x siii'x C0î>'x . 5 sin'x cos x
*o. y= r^ Tir- +
8 IG ' Ci
5sinxcosx 3x
128 ^T28*
— =s siià*xcOî»*x.
(/x
CHAPITRE II.
DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS EXPLICITES
DE PLUSIEURS VARIABLES.
La différentielle totale d'une fonction de plusieurs varia-
bles est égale à la somme des différentielles partielles de
celte fonction (théorème n® 7, chap. I).
Soit
ti = F(x, y, «,...)
une fonction explicite u des variables x,y,z ,.,
On a
(/w » -— rfar + -- dy + -- i/z + etc.
dx ihj dz
iQ EXERCICES MÉTHODIQUES
Exemple.
Soit
La dérivée partielle de u par rapport à x, c'est-à-di
considérant yetz comme des constantes et x comme
variable, est
rftt __ (x + 1/ + z) (2xy + «*) — (x^!J + y'- + z^x]
dx (x + y + z)^
OU, après simplification,
du {y + z){z' + ^2xy) + y{x'-yz)
dx (^ + y + ^)*
De même, la dérivée partielle de u par rapport à 1/ c
dérée comme seule variable est, après réduction,
du ^ {z + x) (a» + 2yg) + z{y^ — xz)
dy ix + y + z?
et la dérivée de u par rapport à z,
du {x + y) ( V* 4" 2a:z) + x(z^ — xy)
dz (x + y + 2)'
Du reste, ces deux dernières dérivées auraient pu se
de la première par symétrie, la fonction proposée étant
même symétrique par rapport kx.yet z.
La difiPérentielle totale est donc
j^ (y + g) (^* + ^a-y) + y (x* — yz) ^^
(•ï + y + z)*
. (2 + X) (x' + 2y2) + z{y*- xz)
-^ (x+y+zf "
. (a^ + y^ (.y* + 2ar») + x(z*- xy)
+ (^ + y + z)* *•
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 17
En remplaçant dx, dy et dz respectivemenl par x, y et z,
le second membre de cette égalité devient 2m, d'après ce
théorème d'Euler : Si u est une fonction homogène et du
n*"" degré des variables x, y, z^ etc., on a
du du du
dx ^ dy-^ ^ dz '
\, u=rxye' + ^K
du = é'-^'^ [y(i +x)dx + x(\+ 2t/) dy].
(X* + yr
4(arfx + ydy)
(a* + 1/?
pour dx = Xj et dy = j/, le second membre devient — 4m.
{x + a)"
3. t/ =
(y + 6)"
(x -|- a)"~ ' [«(y + 6) rfx — m(a; -|- a) dy]
du =
(y + <•)"•+'
..._v^
du=^
^xy(ydx — xdy)
pour dx z= X, dy ^ y, le second membre devient 0.
5. t/« ! L.
x + y
, __ (y — X — 2 l/xy) \^y rfx + (x — y — 2 l/xy) V/x (/y
2l/^(x + y)*
pour dx = a:, rfj/ ==• y, le second membre devient
i
— -«.
2
iS EXERCICES MÉTHODIQUES
6. tl — log y'.
X
du SB log y . ctx -|- - dy,
X
7. M == log sin - •
y
i X
rftt = — {ydx — xdy) colg - •
y j
8. tt^logX/— ï-/.
•^ ax — by
ab(xdy — ydx)
du =
9. ti =x arc tang
X — t/
x*y
iO. ti= -^
ydx — xdy
^' + y'
a* — X*
du =
dw = — dx 4- dy -| ;; — - dz.
w sin v — fi sin ;3r
f) sini: — m sinx
OT CùBx (m sin y — n sin s) dx-hm cos j/ (p sin ï — m sin x) dy+m cos z (n sin a; — f
(p sin z — m sin x)*
. xy
12. u«=arcséc-^ •
du =
z
yz dx + zx dy — xy dz
VxW —
xy V x'y' — z'
X z^
13. ti = l/a*+Y+l* + arc lang - + - •
xdx -}- y^/y + -î^rf^ zdx — xdz
DE CALCUL DIFFÉRENRIEL. 49
v -4- [/x' — z^
du =
15. u
x{ydx — xdy) — z{ydz — zdy)
(y« — x* + «*) Vx* — 2*
. _ (y-*-g-»-0ys/<ij;-K8-4-^ -h j)g<xdy-^ (f -♦- a; -h y) fa;.v ds -»■ ( x + y -f- z)xitz dt
pour rfx' = a-, rfi/ x=s: y^ ciz = z, dt == ^ le second membre
devient 3u.
1
CHAPITRE III.
DÉRIVÉES SUCCESSIVES DES FONCTIONS EXPLICITES
d'une SEULE VARIABLE.
Le résultat de la dérivation, par les procédés ordinaires,
de la dérivée du premier ordre d'une fonction de x est la
dérivée du deuxième ordre de la fonction.
La dérivée du troisième ordre de la fonction est de même
le résultat de la dérivation, par les moyens connus, de la
dérivée du deuxième ordre, et ainsi de suite.
Quand la fonction proposée est décomposable en deux
facteurs, dont chacun est une fonction plus simple de x, on
peut, pour obtenir la dérivée de l'ordre n**"* de la fonction
primitive, faire usage de ce théorème de Leibnitz : a et y
étant des fonctions de x^
fNt d"u n dv d^'hi n(n — i) r/*u d"-^u
rfx" dx" ^ \ dx dx"'* ' 1.2 r/x* dx"-* '
20 EXERCICES MÉTHODIQUES
Enfin, quand la fonction est de la forme
(a 4- 6x + fx-)'",
on pourrait, pour obtenir la dérivée du n*"" ordre, décom-
poser le trinôme a + ^^ + ^^* ^^ ^^ux facteurs du premier
degré et appliquer la formule de Leibnitz, mais il est plus
simple de faire usage de deux théorèmes présentés par
Lagrange {Mémoires de Berlin, 1772) et qui peuvent s'énon-
cer comme suit :
1« Soit
En représentant par u le trinôme a-^bx -{- cx^ et par m'
sa dérivée b + 2cx, on a
=m{m'^\) ... im — w + 1) w'"-" m'" 1 + - — -^ — ^,
n(n — \)(n^^) cV I
A ; — - —77 + etc.
^i.2(m — n + i)(m — w+2) t/'* ^ J
2** u et u' représentant le trinôme a-^bx-\'Cx'^ et sa
dérivée, si Ton pose 4ac — fc' = e*, on obtient
- — =2m(2m — i ...(2in — w + !) -- u'""" iH — -— ^
rfx" ^ ' ^ ^ 12/ L * 2m(2m — I]
. m(îw — i) «(n — \)(n — 2)(n— 3) c* . 1
^ 1.2 2iîi(2m — i)(2m — 2)(2w — 3) u'*^ \ ' '
Des procédés particuliers permettent quelquefois de ra-
mener la recherche de la dérivée w*"* d'une fonction à l'une
des méthodes précédentes appliquées dans les exemples
suivants.
Kxemple I.
Soit à chercher les dérivées successives de la fonction
a -^x
y^
a — X
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 21
La. dérivée du premier ordre est
dy 2a
dx (a — X]*
Dérivant, d'après la règle ordinaire,
2a
(a — xf
expression de la dérivée du premier ordre, on obtient pour
la dérivée du troisième ordre de y
d'y 2. 2. a
dx^ (a — xf
Dérivant
2. 2. a
(a - xY
expression de la dérivée du deuxième ordre, on trouve
pour dérivée du troisième ordre de y
d^y _2.'2.5.a
dx^ (a — X)*
et ainsi de suite.
La dérivée du n*"* ordre de y est donc
d"y ^ (1 .2.3.4...n)a
dx'* (a — x)"-*-*
Exemple II.
Soit à chercher les dérivées successives de la fonction
__ (a -(- bxr
^ ^ (a'+ b'xy '
Cette fonction est décomposable dans les deux facteurs
1
(a + ôx)" et ; ou ia+h'x)'^;
on peut donc trouver sa dérivée n**"* par la formule de
Leibnitz.
22 EXKRCICKS MÉTHODIQUES
En posant
«==(a +bx)'%
V = (a' -f- ôx)-",
on trouve par dérivations successives
du
— =»i6(a + 6x)'"-',
_= w(m — 1) 6*(a + bx)'"''^
d^u
— ^m(m^i) (m - 2) b'{a + bx)
w «»o
• •••••■
— .= fii(m — i)... (/n — w 4- l)6"(a-[- ^x)"""-
Et aussi
dv
dx
^, = - P(P + 1) (P + 2) 6"(a' + '''x)- " - \
g=(_4)-;,(p + 1)...(p-|-«_1)6'"(a' + 6'x)-'-
Substiluant les valeurs de u, de v et de leurs dé
dans la formule de Leibnitz, on obtient
d"uv d'il i
ou — ^ = ; r»u(Ht — !)...{«» — n+ I)6"(a4
^ 1.2 (a'+6'x)''+*'- ^ ' ^ ^ ' ^ ^ '
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 23
)\jL en posant
A = m m — •I)...(m — « + 1)6"— ! — -i ,
4" y n pb' A(a-\-bx)
lôP^ "~ î o' + 6'x ' 6(m — n+T)
n(it — d) »(p+i)6'* A(a + 6x)*'
ou
d'y r n pb' a-\-bx
+
1 .2 6*(w — n + i)(m — n+2) \a'+6'xy ^ J
Pour obtenir les dérivées du premier ordre, du deuxième,
du troisième, etc., il suffira de faire dans cette formule
n = 1, 2, 3, etc.
Kzeniple III.
Soit à chercher la dérivée n*'"* de
i
y= 1^
(ax -j- x*)'*
Cette fonction peut s'écrire
y s=s (ax -|- x'*)"» .
Elle est donc de la forme
(a + 6x + ex*)'"
et Ton peut en trouver la dérivée 71*'"" au moyen de la for-
mule (P), par exemple. Ici
t« == ax + X-, ti' = a + 2x et e* == — a*.
Substituant dans (3) ces valeurs et celle de
5
m =
2
24 EXEKCICES MÉTHODIQUES
on a
d-y (-l)''5.4...(w4-2)(a+2.r)° r 5 n(n-l) / a
^" 2'-(ax + xr+5 L 2 3.4 \o+2i
3 5 n(n— l)(n — 2)(n — 5) / o y "J
"^2'4' 3.4.5.6 \â+^/ "'"'"*'■]■
Exemple l¥.
Soit 1
Cette fonction peut s'écrire
1
+
6x a + 6x;
Ainsi décomposée, on en obtient facilement les dérivée
successives
dx 2a
r_i L_i
[(a — 6x)* (a + bxf\
d^y _ 1.26^ r I 1 1
^ ~ "la l(a — 6a:)' "^ (a + 6x)'J
dx
dx
}/ 1.2.D.6T i i 1
ï^ "" î2a [(tt — 6x/ "" (a -j- 6x)* J
'y_ i.2.5...n6" r t ^ 1 1
t" 2a [(" — 6x)"*» ^ ^ (a + 6ar)'' + *J
5x'
Si H est pair, on a
Si 71 est impair,
d"t/ ^ .2.3... fit" r, . , , ^4
—2. «= —^ — - [a -H M" + * — (a — 6x)" ^^ '1.
DE CALCUL DIFFÉREiNTIEL. 25
rf'*V
Si H = m,
— Il == I . 2 . D . . . m.
La dérivée de l'ordre m*™* est donc constante et les déri-
vées d'ordre supérieur nulles.
2. y=Logx.
rfy Lo}< e
_^__ sas •^— — ^ •
dx X
d^y d"-' . j:"* Log c 1 .2.5.. .(/i— I) Loge
/i = 2, 3, 4, 5 ...
En faisant 71 = 1 , on trouverait
fhl _
dx
résultat inexact, puisque
rfy ^ Log e
dx X
mais à part cette première dérivée de Log Xy toutes les
autres sont contenues dans l'expression générale de la
dérivée /i*"%
S'il s'agit de logarithmes népériens, log « ==» 1 et la déri-
vée w*"* de 1/ = log X est
d^y ^d^-^x' __ 1 .2.5... (n— I)
--± =5 (m log af o"".
% ËXËKaCËS MÉTHODIQUES
Si ?n = 1, j/ = a' et la dérivée n**"* devient
Si, en outre, a = e, y = ^; et la dérivée u*"" est
dx"
4. y = sin wix.
= m cos mx
dx
= m sin (mx + 7] »
= m* cos 1 liix -|- -1 = m* sin ( mx + 2 -
- — ss m'* sin i/ix + it - •
Si m = 1, ^ =s sin a; et la dérivée m*"* de cette foi
est
d"y
dx"*
5. yt=z cos mx.
= sin^x+»^).
=s m" cos
rfx"
(»wx + w ^] •
Si m = 1, j^ =« cos a: et la dérivée «""" est
- — = cos X + w -
6. y = e* ■'" ^ sin (x cos a),
rf"y . . / , nn'
7. y = e"' sin mx.
rfv i m
— =B e«'(a sin mx + m cos mx) = e"* . a I sin mx -] — co:
rfx \ a
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 37
Posant
il vîenl
m , 1
— B= tang f , d'où a>^(a* -}- m^)* cos 9 ,
a
-^== (o* -f m*)' c** sin(mx + f).
dx
Mn employant le même procédé dans les dérivées sui-
vantes, on arrive à
— ? « (a* + mV c" sin (mx + wy).
UJt
On peut écrire
y — (i+x)"'(l — x)"S
^t., en appliquant le théorème de Leibnitz,
(4— X*)"* r « m i + x
n{n — i) m{m — i)
r
i.2 (m — n +i) (m — n + 2)
En faisant ?i = m,
rfx"'
m* (m —
i . 2 . 5 ... m(i -. x)'" [1 — m» -i^
L 1 — X
+
i*,2" Vl— x/ J
9. y-=(a + 6x)'"log(a+6x).
Le théorème de Leibnitz fournit
^= ,w(m — i) ... (m — n+ 1) ô^Co + 6x)— " log(a + 6x)
H i n(n — i) i
im — i« + i 4.2 (m — /I + 4) (m — 11 + 2
n(ii- l)(fi-2) 1^^ 1
"*" i . 2 . 3 (m-/î+I)(Mi-«+2)(m-ii+3) ^^^J
28 EXERCICES MÉTHODIQUES
Si n =s m,
—^ = 1.2.3 ..mô"* log(a+6x) + — ^ ^,^
. m(iii — i)(m~-2)i .2 1
H ■ --^ etc. .
^ (1.2.5)* J
10. y «= (a — ôx)"* sin (a -j- 6x).
Le théorème de Leibnitz donne
dy
dx'
n a — hx f n
sin [a-l-bx -] —
^=(— l)''w(m— l)...(fw— »+l)6''(a— ftx)*"-* sin(a4-6j
\ m — n + 1 \ 2
/î(n — i ) (a — bx)
est
d
dx
+
^ 1.2 (m— w+l)(m
Si n = m et & = 1 , la dérivée m*"* de
^ = (a — x)'" sin (a -)- x)
— - sin a4'bx+ -— — etc.
— w+2) V ^ ^2/ J
— =(—1)"' 1.2.3 ...iw sin(a+x) -(a— x)8in a+xH —
-I -—(a — x)*sin fa + x -| 1 — etc. .
11. t/ =x'"e"*sin mx.
Posant 6°* sin m^ = w, x"* = i; et sachant (Exercice 7) qu
=3 (a* -|- m*)* e" sin (mx -(- Wf ) ,
CvX
on trouve facilement par le théorème de Leibnitz
d"u îî l . ^ n sinrmx + (» —
-Ji = (a* -f- m*f e« x'" sm (mx -{- n?) + - mx""* — -^ —
/i(w — 1) ^ .sinrmx + (n — 2)©] )
+ \ „ ■ ». (m - 4) X— — i ^' , '^^ + etc. .
* • -* (o* + »h')î '
12. y = e"X,
X représentant une fonction de x.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. *>
Posant M —» X et r = 6"', le théorème de Leibnitz fournit
facilement
dx
u /rf»X d«-*X . n(n—\) rf^-'X \
résultat qu'on peut écrire symboliquement
ou bien
dx
'=*"L4+«^-
D'où il suit que
Ce résultat est d'une grande importance dans la solution
des équations différentielles.
13- y =s are sin x.
^^ (1 - x«)'
(i-x'n.
n employant la formule (p), on trouve
dacr** dx"-*
i .2.3,..(n--i)x"-* r \ (n — 1)(n~-2 i
(i - aV-1 I. "^2 1.2 x'
1 3 (n— 1)(n — 2)(n — 3)(w —
+ â • 7
w — i) i , "1
^-. + etc.J.
â 4 1. 2.3.4
n = 2, 3, 4, 5 . . .
Ce résultat, pris négativement, serait l'expression de la
dérivée n*""' de arc cos x.
30 EXERCICES MÉTHODIQUES
X
14. y =: arc tang-*
La formule (^) donne
, (n — l)(n— 2)(n — 3)(n— 4) 0*
^ 1.2.3.4.5 x*
Ce résultat, pris négativement, serait l'expression de
dérivée 7i*"" de arc cotg -•
15. 2/ = log (- + a: + \^a + 6x + x* j .
/ « ^ = (a + 6x + x*)-i.
«^ l/a + 6x + x*
En faisant usage de la formule (P), on obtient
d"y d"-*(a + 6x + x*)-*
dx" dx
w-l
. .V . V (6 + 2x)'-* r, 1 (n—l)(n— 2)
= —i "-4.2.3 ...w-1 îM— ^ 7^ ^
2-(t/+6a+a»)'-iL 2 i.2
• />*)' 1
— ' — etc. .
2x)* J
, 1 3 (n-l)(n — 2)(n— 3)(w — 4) (4a — />*)
2 4 1.2. 3. 4 (6 +
16. v = ^'
^ a* + a*
On peut écrire
1
2a l/^ Kx + aV-
= — ^-=)
1 a; — al/— 1/
i
«
1
1
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 3t
C»*est la décomposition employée dans l'exemple IV; en
dérivant on obtient
dx
y i.2.5...» r (x-a\/-ir'-(x+aV^-l/""" ]
En posant
? «« arc lang-, d'où x=l/a*-{-«*cos? et a=l/a'-f-x*sin«>,
X
on trouve
rf^y i .2 . 3...« sin(n + i) f
(a» + a*) * Liouville.
Puisque la dérivée première de
est
db-^
ti
^^ trouvera
X
y = arc tang -
dy a
dx a* + ^*
(/a?" dx
«-1
y a* + x'''
^n opérant comme dans l'exercice précédent, on trouve
^ = (—1 M. 2.3... « ^ ^^
( a» + x«) * Liouville.
les résultats de cet exercice et du précédent sont d'un
^^^ge fréquent dans la théorie des intégrales définies.
y
c' + i
;i2 EXERCICES MÉTHODIQUES
En divisant 1 par e* + 1 , on trouve
y =6"' — e'^ + e"^ — e"^' + elc. ;
et facilement
-JL = (— i)" \\"e" — 2"c-«' + ^"6"^ — 4«e-*' + elc.l.
dx" "^
Laplace a trouvé pour celle dérivée n*"* une autre forme
(voir les Mémoires de V Académie, 1777, page 108).
CHAPITRE IV.
DÉRIVÉES SUCCESSIVES DES FONCTIONS EXPLICITES
DE PLUSIEURS VARIABLES.
Soit
M==F(a:,y)
une fonction u des variables x eV y. Quel que soit l'ordre
suivi dans les dérivations partielles
d*a d^a
dx dy dy dx
d^u dhi d^u
dx^dy dy dx^ dx dy dx
d^u d^u d^u
dy^dx dx dy* dy dx dy
etc.
La différentielle totale de l'ordre n*"* de u est
dx" dx'^'^dy 1.2 dx*^*dy^ ^ ^
ou symboliquement
/rfw , , du ^ y
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 38
Soit encore
une fonction u des variables x, y, z.
dxdy
d'u
dx^dy
d'u
dy^dz
d'u
dz^dx
d^u
d^u
dydx
d^u cPu d^u d^u
dydz dzdy dzdx dxdz
d'u
dy dx^
d^u
dxdydx
d'u
d^u
dzdy'
dydzdy
d^u
d'u
dxdz*
dzdxdz
d^u
d'u
dxdydz dxdzdy dydxdz
Etc.,
quel que soit Tordre suivi dans les dérivations.
On a aussi symboliquement
Idu , . du , . du , Y
d''u = [—dx + — dy+-j-dz] .
\dx ^ dy ^ ^ dz I
Et ainsi de suite, quel que soit le nombre des variables
que contienne une fonction.
Exemple I.
Soit
î/ = x^y**.
On a
du
— -^mx^^-'y" 0),
du
-=px-j/''-' (2),
et si l'on dérive (1) par rapport à y, (2) par rapport à x^
(Pu d^u
= mpx'*~^y^^* =
dx dy dy dx
3
34 EXERCICES MÉTHODIQUES
Si Ton dérive (1) par rapport à a; et le résultat par rap-
port à y, ce qui donne
à*u
-— = m(in — 1)0:'"''*!/',
— _-= mp(m — i)x'"-V"*.
dx*dy '^ ^
on trouvera le même résultat qu'en dérivant deux fois de
suite (2) par rapport à Xy car
(Pu , ,
rfy rfx '^ -^
et
Si Ton demandait les différentielles totales successives
de la fonction proposée
on aurait, en considérant dx et dy comme constants :
du = mx*"* y^dx -{- px"*y^~* dy ,
c/*u = m (m — i) x'^'^y^dx^ -(- ^mpx*^'*y''-*dxdy + p(p — 1) x^y»»"'
(/»u «= m(m — 1) (m — 2) x'^-^tfdx^ -|- 5mp{m — 1) x'^'*y'"'*dx*dy
+ 5m/)(/i — i) x'^'^yf-hfxdy^ + p(p — 1) (p — 2) x'^y'-^dy^
etc.
Différentier ainsi par rapport à x et 1/ est plus simple que
de chercher les différentielles partielles de la fonction et
d'en substituer les valeurs dans la formule donnée plus
haut.
■exemple II.
Soit
On a
du X
dx " i/^. + y* + z^' ^
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 35
du y
— = '^ (2)
du z
(/« l/a;« + !/* + £*
En dérivant respectivement (1) et (2) par rapport kyetx;
(2) et (3) par rapport hz eiy;{i)ei (3) par rapport à z et x,
on trouve
d^u xy
dxdy
dhi
xy
dydx
d*u
{^' + y' + ^f
y^
dydz
d*u
(^' + y' + 4
y^
dzdy
d*u
xz
dxdz
d^u
xz
dzdx ^ ^ ^l
Dérivant ces dérivées partielles du deuxième ordre, les
deux premières par rapport à ;:., les deux suivantes par
rapport à x et les deux dernières par rapport à y, on obtient
d*u xyz d^u d^u
dxdydz ' ^ ^l du dxdz dydzdx
d^u d^u d^u
dz dy dx dx dz dy dz dx dy
Quant aux différentielles totales successives de la fonc-
tion proposée
ae EXERCICES méthodiques
on trouve
xdx + ydy + zdz
du s= '■ »
puis, en considérant dx, dy et dz comme constants,
(xdy — ydxY + (zdx — xdzf -)- {ydz — zdyj
d^u =
3
(X* + !/' + z*)
Etc.
\. M = (8inxr"y.
— — -- = cosy cos£csinx•'°^"*(siny.logsina:+i)«=s--
axal/ a
2. ti = lang (xî').
rf*w a:>'~*(cosa:î'-j-t/ IogxcosarS'-(-2yac^logxsina;^)
ctxc/y cos^(x"')
5. u = c'î' arc tang (x -f- y).
(Pu (
— =j(4+xy)arctang(x + y)
2xy
A. M =
x' — t/'
d*w x' + 7x'f/^ + f/« d^u
— 4 .
c/x dy (x^ — y^f dy dx
5. u = arc tang \/ ^
y x* + y
6. M =
sin (X — y)
[i + COS^ — i/)] =
rfxrfy sin'(x — !/)"■ ^'^ dydx
DE CALCUL DIFFÉRENRIEL. 37
7. ti = l/ac' -|- y* -j- arc tang - •
cPu x' — t/' — xy l/x* -(- v' d'M
rfof dy (x* -(- ]y*)* dy dx
\ /* — iy
8. tt = arc sin \/ •
ixdy A , ,J c/wrfx
X y
9. tf = cos - arc cos -
y X
d*u 1
— arc cos
y I X X x\
-Isin - +-COS -
x\ y y yl
dydx
dxdy \^
i /2.x. X x\
-j _ -sin - + — tCOS - =
l/x* — y" Vy !/ a;» — !/• 1//
^ 2x' 2x* ^2 '^L X J
d^u 2t/ x* + 2y* d^u
rfxdy x' x'l/x*+^ ^^y^x
{{, u = X* — 3axy -j- y'.
d'u = i2(dx»+dy').
12. M = V/2xt/ + y*.
rfx*rfv ^
(2xy4-yV
i5. u = xiàngy -\- y iBn^x.
d^u 2 (cos* X + 3 sin* x)
dx^dy cos* x
14. f#=log[(x + y)*(y+z)].
d»w 2 d*M
dx dy (x + yY dy dx
:« EXERCICES MÉTHODIQUES
*^y^^ (y + ^f (^zdy
= =
m. u
dz dx dx dz
xyz
Oi*—Z^
d^u
dxdy
d^u
z(x*
+ z'}
ifu
(X'.
~zj
dydx
x[x'
+ Z-)
(Pu
[X--
-zr
ilzdy
y(x'
' + Gx*z'
'+«*)
dydz
d^u î/(x*4-6xV-4-ie*) d'à
dz dx (x* — z^f dx dz
i(j. a = log x^\
d^u zy'~* d^u
dxdy X dydx
d^u , . d^u.
= !/ logx(i +z\ogy) =
dy dz dz dy
d^u y' logt/ d*w
dz dx X dx dz
\7, u = x\o^y -^-ylogz -{- zlogx.
d'u 1 d^u d^u
rf»w = 2
dxdy^ y'^ dy^dx dydxdy
d^u i rf'u d^u
dydz^ z* dz^dy dzdydz
dzdx* X* dx^dz dxdzdx
Izdx^ xdy^ ydz^\ Idzdx^ dxdy* dy
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 39
d"u = e"+*y ^"[adx + hdy + cdzf.
19. « = Iog(ax + 6^ + cz).
d-u (-l)-i.2.3...(„-l)(^î?f±^Ç^^±f^)".
\ ax -^ by -j- CZ I
30. u = sin ax sin hy sin cz.
rf*tf as= sin ax sin 6^ sin cz(a*rfjr* + ^OL^hhlxHy^ -j- GQ*c^dx*dz*
+ 6yy* + Gbydy^dz^ -f- c*rf«*)
— cos ax cos 6t/ sin cz (a^dx* + Sc^^iz'* + b^dy*) 4a6 rfx (/t/
- cos ax sin 6î/ cos cz (a'^dx^ + 36Vt/' -\- c^dz^) 4ac rfx é/z
-- sin ax cos 6^ cos cz (b'^dy* + 3a'(/x* -f- c'rfz*) 46c (/t/ dz.
:2I. tt =
2-.«
x-y
d«ei 3-2(38zn* — bz* — W) d'u
dx'dfdz^di* (z* + ly dyHxHz'de
=» etc.
CHAPITRE V.
DIFFÉRENTIATION DES ÉQUATIONS.
Promler cas.
Une seule des variables étant indépendante.
Soit
F(x..V) = (i)
une équation renfermant les variables x et y; x indépen-
dante.
Une première différentiation donne
dF dF
-J. + -dy^O (2);
40 EXERCICES MÉTHODIQUES
équation d'où l'on tire facilement
1*» la différentielle totale dy ;
2o la dérivée — •
dx
Une deuxième différentiation effectuée en considérant
^ et g- comme des fonctions de x, y et dx comme con-
stant, fournit
rf«F rf'F d'F c/F
équation d'où l'on tire
1*» la différentielle totale d^y ;
d'y
2° la dérivée
dx'
Pour trouver cette dernière dérivée, on divisera d'abord
les deux membres de (3) par rfx*, puis on remplacera
^ par sa valeur trouvée au moyen de (2).
Une troisième différentiation fournirait
i^ la différentielle totale d^y ;
d'y
2® la dérivée , ,
dx^
et ainsi de suite.
Soient
¥i(x,y,z) = 0.
deux équations renfermant les variables x, y, z, dont une
seule X est indépendante.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 41
Par une première différentiation, on trouve
dF, dF. rfF.
.— dx+-j-dy+-^dz = 0,
dx dy dz
dx ^ dy ^ ^ dz
et en éliminant tour à tour dz et dy entre ces équations,
on obtient
1» les différentielles totales dy et dz ;
dy dz
2<» les dérivées -;-» t-"
dx dx
Une deuxième différentiation effectuée en considérant
dF, dF, dF, dF, dF^ c/F,
dx dy dz dx dy dz
comme des fonctions de x, j/, z et dx comme constant,
donne
-— rfx'-f- 2 -— — dxdy + 2 — — dx dz + ■-— dy*
(/«F. d'Fa (i*F- d'F,
d'F- rf»F- dF* dF.
et en éliminant tour à tour (Pz et d^y entre ces équations,
on trouve
1<> les différentielles totales d*y et (P;5 ;
d^y (Pz
2° les dérivées t-^ et -—r •
dx* dx*
Pour obtenir ces derniers coefficients différentiels, on
h% EXERCICES MÉTHODIQUES
divisera d'abord les deux membres de chacune des équa-
tions précédenles par dx^ et Ton remplacera ^ et ^ par
leurs valeurs trouvées à la suite de la première différen-
tiation.
En général, si Ton a m équations renfermant m + *
variables dont une seule est indépendante, même marche
pour obtenir les différentielles totales et les dérivées des
différents ordres.
Deux des variables étant indépendantes.
Soit
F(x,.v, 5) = 0,
une équation renfermant les variables x, y, z, dont deux
indépendantes x et y.
Une première différentiation donne
(/F , (/F , dF .
équation d'où l'on tire aisément
1<» la différentielle totale dz ;
2® les dérivées partielles -r-* -r"
dx dy
Les dérivées partielles sont les coefficients de dx et de dy
dans la différentielle totale.
Une deuxième différentiation effectuée en considérant
dF dV d¥
dx' T * dz c<^"^™^ ^^^ fonctions de x, y, z et dx, dy comme
constants ferait connaître par son résultat
1« la différentielle totale d*^ ;
^ , j, . , . ,. ^*^ ^^ (^^^
2<> les dérivées partielles -— » -; — r-» —-; •
d^x dxdy dy*
Etc.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 4;^
Soient
F,(x, y, 2, ii) = 0,
F,(ar, t/, X, tt) = 0,
deux équations renfermant quatre variables .r, j/, z, m, dont
deux indépendantes x et y.
Une première différentiation fournit
(/F| . . rfF. rfF, rfF,
dx ^ dy ^ ^ dz ^ du
dF, c/F, dFj , dF,
T" ''■^ + T" ^^ + T~ '^^ + T" ^" = ^'
ax ay dz du
et, par élimination, on obtient facilement
1° les différentielles totales dz et dw ;
^ , ,, . ^ . ,, dz dz du du
T* les dérivées partielles -r- ♦ -;- » t-» —
do; di/ do; dy
Les dérivées partielles sont les coefficients de dx et de dy
dans les différentielles totales.
Une deuxième différentiation fournirait deux équations
d'où Ton tirerait les différentielles totales et les dérivées
partielles du deuxième ordre, etc.
Des deux cas précédents, on s'élève aisément aux cas où
les équations renferment trois, quatre, etc., variables indé-
pendantes.
Exemples I.
Soit réquation
X* — 3xy + y* = (1)
Différentiant, on a
4x'dx — 6xt/*dx — Cx'y dy -\- iy^dy == ,
ou
2x'dx — 3xt/Vx — 3x*</ dy + 2y'dw = . . (2^
D'où
3xy* — 2x^ , X W — 2x* ,
du = dx =s — • dx
^ V— 3a:*y y 2t/* — 3x*
et
dy X 3y* — 2x*
dî""y ' 2y* — 3x*
44 EXERCICES MÉTHODIQUES
Diiférentiant (2), en regardant dx comme constant, c
obtient
6x^dx^ — Zy^dx* — i^xydxdy — 3x'dy' — Zx^yd^y + 6t/'rfy'-}-2y*c
ou, en divisant par dx*,
OU plus simplement
6x* - 3t/* - 12xy ^ + (6y* - 5x«) (^) V (2i/' - 5x'y) g =
Substituant à ^ sa valeur trouvée plus haut et réduisac
on tire de l'équation résultante
d* V _ 6(2t/« — 7xy + 7a:Sy* — 7xy + 2a;«)
Exemple II.
Soient les équations
cos X + cos i/ + cos « = a ,
^' + y' + «' =» f>'
La différentiation donne
sin xdx + sin ydy -j- sin zdz = ,
x*dx -}- 2/Xv + ^*^^ = ^•
L'élimination de dz entre ces équations fournit
(z* sin X — X* sin z) dx -(- («* sin y — y* sin z) dy =
et celle de dy
(x* sin y — !/' sin x) dx + (2' sin y — t/* sin z) dz = 0.
D'où
, x*sinz — z*sinx w*sinx — x^sin^
^y^lT' —' — ^^» dz = -Y-- r-' — ^^
z* sin y — t/* sin z z* sin t/ — y* sin z
. . . I
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 43
dy ac* sin z — z* sin x dz t/' sin x — x* sin y
dx 2* sin y — y* sin z rfx z' sin y — y' sin z
Différentiant les équations (1) en considérant dx comme
constant, on a
cosxrfx*+cosyrfy* + sînyrf'y-{-cos2d2'-{-sinisd'z = 0,
2xdx« + 2y rfy» + y^d'y + 2z rfz' + z«d'z «= 0.
Et en divisant par dx^^
IdyV . . d'y . IdzV , . d*9 ^
eosx+cosyy+siny--+coszy +sm.-=0,
Remplaçant ~ et ^^ par leurs valeurs, chassant les déno-
minateurs, puis posant :
z^ sin y — y* sin 2r = A,
X* sin z — 5?' sin X = B,
y* sin X — x* sin y = C,
on trouve
(Py d^z
A'cosx -j- B*cosy + C* ces je + A*siny -— -{- A*siu x — = 0,
uX ax
2A»x + 2B'y + 2C'2 + A'j/' -4 + AV — = 0.
vvJL fJwJL
L'élimination !<> de ^ ; 2° de ^ entre c^s équations
donne
A'(z' ces X — 2x sin z) + B*(:8* ces y — 2y sin z)
d^u
+ C'(z«cos5f — 2-2sinz)+A'-^— 0,
CvX
A*(2x sin y — y' ces x) + B'(2y sin y — y' ces y)
+ e(2zsiny-y'cos;y)+A'^=0.
46 EXERCICES MÉTHODIQUES
D'où l'on tire
d^y A*(2xsin2— z'cosx)+B'(2î/sinz — ^* cos v) + C*( 22 sîn -?—«*'
iPz A'(ycosx — 2xsiny)+ B*(f/'cost/ — 2^siny)-(-C*(t/*cos« — 2«
et, en muItipHant par rfx*, les différentielles totales, rf*/
et dH.
Kxemple III.
Soit
La différentiation donne
23:^/3: = eyrfjp + xc*% + e'^z .... (4)
D'où
e* xe*
2z— e' ^2^: — e' ^
et, par suite,
dz e^ dz xe^
et — =
dx 2z — e' c/t/ 2« — e'
Diflférentiant l'ëquation (1), en considérant dx et dy
comme constants, on a
^dz" + 2z dh = 2e^ rfx d^ + xe^t/i/* + e'c/z' + e'd\ ,
ou
(2s — e') d^z = xe^d]/* -j- ^e^dxdy + (e' — 2) dz^
Remplaçant dz par sa valeur,
(gy Xfc^
2s — e' ' 2«— e^
D'où l'on tire aisément
(2s — e')** ' (2s — ey "^
xeî'(e' — 2)-|-(2s — e')*
(2s — e*/
DE CALCUL DIFFÉKENTItL. 47
et par conséquent
dh _ ^^^ xeHe' - 2) + (2£ - eg^
s 3
(1)
c/x(/^ (2z C';
(i'^ xt^ le' — 2) + (2« — e'Y
c/(/' (2j? — e')"
Ksemplë l¥.
Soient les équations
ax + 6t/ -(- cz -f- /c/« =« /,
Différentiant, on a
adx -f" ^^y "I" c^^ "i" ^^" = ^ '
Entre ces équations éliminant du, on obtient
(oÂ:i/ — a'x) rfx + (6A;e< — 6*</) c/i/ -|- (cA;w — c*z) rfz «= 0.
D'où e/.^"'^-"^"rfx + ^'^~^*"rfy.
c/z o(ax — ku) dz b(by — ku)
dx c(ku — cz) dy c[ku — cz)
Entre les équations (1) éliminant dz, il vient
(a*x — acz) dx + {l>^y — bcz) dy + (^'w — ckz) dU'^^O,
ucz — a'x bcz — />**/
D'où rfu = iT-—^ <'*• + .,„ -.. «'i' .
/t M CriZ fi U CriZ
du u{cz — ax) du b{cz — by)
dx k(ku — cz) dy k(ku — cz)
Différentiant les équations (1), en considérant dx et dy
omme constants, on a
oVx» + fcVf/* + v'dz^ + AVa* + ch dH + h^u U^u = 0.
48 EXERCICES MÉTHODIQUES
Éliminant entre ces équations, 1° d*M, 2« d*«, on obtient
c(ku — cz) d'z = a^dx^ + b^dy* + cVz» + lfdu\
k (cz — ku) rf'u = a*rfx* + b*di/ + àdz^ + kHu\
Substituant k dz eik du leurs valeurs trouvées, on tire
aisément des deux équations résultantes
d^z a' (ku — rz)* + (ax — kuf -j- (cz — axf fu
dx* c (ku — cz)^ daf
d^z ab (ax — ku)(by — ku)-\-(cz — ax)(cz — by) (Tu
dxdy c (ku — czf dxdy
d^z 6* (ku — czY + (by — kuf + (cz — 6y)' (Tu
dy* c (ku — czf rft/^
4. Ax^ + Bxy + Cy' + Dx + Et/ + F = 0.
(Equation générale des lignes du second ordre.)
dy ^ 2Ax+ By + D
5x~" Bx + 2Cy + E
2. !/* + 2(x* + c^) y» 4- (x« — c^f — a* = 0.
i/y X c' — a* — y*
dx y c* -}~ ^* — y*
3. (x' + y ' — 6x)* — a* (x* + y*) = 0. (Li maçon de Pasca I
dy i a'x — (x* + .V* — ^^) (2x — 6)
dx y 2(x* + y* — bx) — a*
4. (a;« + y' — a»)» (x^ + y«) -= 4a^(x* + y* — ox)*.
En représentant ^* + y* — a* par A
et ^* + 2/* — fiw? par B,
dy_\ 2Ax (x» + y*) + A'x — 4ci«B (2x — a)
dx'^y 8«*B — 2A (x* + y*) — A*
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 49
5. o:' log y — y' log x «= 0.
^y y y*— 2.TMogt/
rfx X x' — 2y' log X
6. y' — x' — ty . arc sin x = 0.
dy 3x«l/i — x* + t/
(3i/* — arc sin x) V/i — x*
7. t/sinx — xarctangy=0.
rfy {\ -\- t/*) (arc lang y — y cos x)
rfx (i + J*J sin X— X
8. tang| = \/IE^.
+
rfy 1
rfx l/Ï^T^
9. x=a.arcsin— ^^^^^^ ^__V/2ây^^. (Cycloïde.)
«fx V y Jx* y"* rfx^ 2/' ^ y
10. lang (x« + y') — x« — y'.
rfy X cos*(x* + y') — 1
rfx y cos*(x* + y*) + 1
a — y y
M, X *= a . arc cos — r-^ — vU^ — (o — y)*. (Troclioïde.)
rfy 1/6' - (g -y/
rfx y
12. yx* c=s arc sin X.
rfy X — y kF--x^ . arc sin x y
dx xVk^ x* arc sin x ^ + J/ '«g x
.SO EXERCICES MÉTHODIQUES
X — a y — a
13. arctang — ; arc (ang^^ ■=6.
x-j-a y + «
dy .V' + «'
dx x^ + a*
dy x«'+'(xy*-'-* -(- log X + i )
dx i — x^"*" log X
i 5. z' + 3zx' «= flxy.
ay — 6x« ax
i 6. (X» + y* + r«j* = a*(x' + y* — «')•
i a' — 2x' — 2v' — 2z*
il. ^ j— i-+i£-— -i = l. (Cylindre elliptique.)
m6'(x — mz) + na*(y — nz) mb^(x — mz) -f- iia*(y -
X /2ïr \
i8. - -= lang I — zj . (Héliçoïde gauche.)
En posant ---=a,
rfz
cos^az
(c/x-^dy).
«y
1 9. (Ax* + A'y' + A"2* — i ) (Aa* + A7/ + A' V — I )
= (Aax + A'by + X"cz- i)\
En faisant Aa* + AV + A'V — 1 = K
et Aax + A'6y + A"cz — 1 = P,
, - A (Kx — Pa) ^ A' (Ky — P6) .
«2 = r-^ ^ dx ^—^ du
A"(Kz-Pc) A"(Kz~Pr) ^'
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 54
20. r^ + ^+?J=i. (Ellipsoïde.)
a* ' b'
ex c y
dz ^BΠdx dv ,
a'z bH ^'
^ c^aH^ + cV)
cPif c*a:y
2i. j == x. (Paraboloïde hyperbolique.)
dz'^ — dy — -rfx,
22. aa;"» +65" + cz" =/:,
dy _ map'c'x"''^ 2"'-* — m'o'/îca;'"'-* z""*
rfx'^ ~ nbp'c'y''-' z^'"* — n'b'pcy*'* 2"-* *
dz_^ iitan'6^a;"'-\v"'-' — mVfi6g"'-*y"-*
i/x ^ '^pcn'b'y"'-* z^' ' — p'c' n6y"-* z'- * *
23. sin(ar + y) + 2 = a,
sin (ar — y) + ^ == ^•
diy
-f «langxtangy,
ax
dz
— = tang X tang y . sin x sin y — cos x cos y.
24. x-|-y-|-«+ti=o,
^' + y' + z' + u' = b,
^' + i^' + ^' + «** = <^-
dy (u — x) (2 — x)
dx (M — y) (z — y)
^<i EXERCICES MÉTHODIQUES
et, par symétrie,
dz ^ (1/ — x) (y •— or)
dx (u — z){y — z)
dv (z — x)(y — x)
dx {z — II) (y — u)
En faisant
<+(i)"+(ir+(êr-.
-+^'C^)'+m)VMë)=B.
on trouve encore
d*y _ A(u + z)- B
dx* (u — t/) (z — t^}
et, par symétrie,
d^z A (t/ + y) — B
rfac* [U — z) (y — z)
d^u A(z+!/) — B
(/x* (Z — u)(y — m)
25. xy -\- zu^==a,
z -{-u
= 6.
6y + 2 , , bx + z
d^^ J , dx+ dy,
o[z — m) o(z — u)
by-j-u ^ ôx-f-w ,
du = — : dx — -— ■ dy ,
rf'z 2(6î/ + w)(6y + z) rf*a
5?"" b\z — ti)' """"rf?'
c/'r 6*(z — t/)*— (6x + m) ôy + 2) — (by + m) (6x + z)
dxdy ti'{z-'Uf
dh __ 2(5x + u) (bx + z) _ rf*M
df b\z — Mf iï^ '
26.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL.
log xyzu = 6.
, z u — X, z u — y
dz = dx • ^ dy ,
53
X U — z
y U'-z
iPz
dx* x'(u — zf
4Pz zu
u z — X u z — y
du = dx dy.
X z — u y z — u
zu (Pu
[(u-*)'+(«-x)'+(z-x)']=- —
dxdy xy{u — if
~d^ " y*(u - z)'
[(«— x) (m— y)+(z -x) (z— y)]-= —
[(tt-z)»+(«-y)'+{z-y)*]=-
tPu
dxdy
d'u
nJL^z — \ y — X -f- 1
27. arc colg = arc cotg — ; ;- -j- k.
u — z + I
y+x — i
28. ar + y + z = log (a + r),
^ + y + » = *og(z +ii).
(z + tf)(z + i? + l)(ti + t? + 1)+(;-ti)(z + t/-fi) &
et, par symétrie,
~(U + t? + i)(r + Z+l) — (M + Z+1)[(U + 1?)(1? + Z) — ij^dy
(t? + g)(^+*^ + ^)f2r + ll + 1)+(t? — Z)(t;+Z + l) di;
™(t?+Z+l)(Z + M+i) — (v + M + 1)[(«-f-z)(Z+u)— i]*~5^
M EXERCICES MÉTHODIQUES
CHAPITRE VI.
DÉVELOPPEBIENT DES FONCTIONS.
Section I. — Théorème de Taylor.
Soit y = F (ic) une fonction y de la variable x.
En représentant par h un accroissement fini donné
l'expression du théorème de Taylor est
F(x+h)^F(x) + hF'{x) +il F"(x) +^ F"(x)-|-
Le n*"* terme de la série est
F"-'(x),
i.2.3...(n — 1)
et, si l'on s'arrête à ce terme, Terreur commise en néglig
tous ceux qui le suivent est comprise entre la plus grs
et la plus petite valeur de l'expression
F"(x + éh),
4.2.3. n ^ ^ ^
dans laquelle est un nombre compris entre et 1.
Exemple.
Soit y = log (a-\'X),
On a F(x) = log (a -f- x), F(x -{- A) = log (a + x -{
Et en dérivant successivement :
r(x) = + ^.
a -|-x
F" (X) = — ^
(o + x)-
1.2
F'"(x) = -4 :
^^ ^(a + xy
F'^ (x) = —
(a + X)*
etc.
DE CALCUL DIFFERKNTIKL. 55
Substituant les valeurs de ces quantités dans la formule
<le Taylor, on obtient
1 A* 1
\o^(a + x + h)=^log(a + x) + h————-
a -j- X 1 . 2 (a 4" *)
. h" i.2 /** 1.2.3
^i.2.3(a + x)' 1.2.3.4 (a + x/^
ou
h I / A \ *
m«+x+/o=iog(«+x)+-p---(-p^)
+ l(JLV_l(JL.y + etc.
^3\a + x/ 4\o + x/ ^
On aurait pu tirer les dérivées successives de la fonction,
à partir de celle du deuxième ordre, de l'expression de la
dérivée n*"'
1.2.3 ...(n^i)
^ ^ (a + x)«
«n faisant successivement n = 2, 3, 4, etc.
D'ailleurs, Terreur commise en s'arrétant au w*"*' terme
de la série qui représente log (a + x + A) est comprise
entre la plus grande et la plus petite valeur de
-« 1 / h y
La plus petite valeur absolue se trouve en faisant Q »i 1 ;
la plus grande en faisant 9 =» 0.
L'erreur est donc comprise entre
Ces limites sont négatives si n est pair, positives si n est
impair, et, par suite, Terreur négative ou positive dans les
mêmes cas.
56
ÈXERCICtS MÉTHODIQUES
MSjc9Êi*€ic0m.
La dérivée de l'ordre u*'"'' (voir chapitre III, exercice 3)
est
— = (m log af a"".
CljÇ
Et, par suite,
i + — ïog a + — (log ar + -j-^ (log af + clc|J
L'erreur commise en s'arrêlant au ?i^'"" terme est com-
prise entre
h"
i . 2 .3...II
{m log a)" tt*' et
h"
1.2 3 ... /i
(«i loge*)" a" <*+*>.
2. y — (a + 6xr.
De ce que (voir chapitre III, exemple II)
F"(x) = »i(m — I)...(m -n+ l)6''(tt + 6x)'"-''.
[a + b(x + h)]'" = (a + bxr
r »*
+
JH(m— l)(m — 2)/ bh
m
1 . a ' U
Les limites de l'erreur commise en s'arrétant au n*"**
terme sont
m(wi — l)...(m — 11+ I) , ^ ^ . ., , ,^,
^ î — - ^''A" [a + 6 (x + A)]'"- "
et
I .2...!}
m (m — 1 ) . . . («i — /i + I )
! .2... /i
6" A'»(«-j-6jr )'«-".
3. i/ =
a + x
a — X
DE CALCUL DIFFÉRENRIEL. o7
On a trouvé, chapitre III, exemple I,
^(1 .2.3.4... w) a
A Taide de cette expression, on obtient facilement
L'erreur commise en s'arrêtant au n*"" terme a pour
limites
^ A" ^ ^^
2a et ^a- -— -•
(a — xr+* (a — X — A)"+*
4. »/ = e" siii mx
En se servant du résultat de l'exercice 7, chapitre III,
N
F«(x) = (a* 4- m*)* e-' sin (mx + n-^),
on trouve
C^'^^^ sin m(x + A) = c" sin mx + A (a* + mj*)^ sin (wx + ?)
+ -j^(a* + m«/8in(mx + 2y)
+ J23 f* + ^ )* ^'" ('''^ + ^^) + ®''^- •
Si a == 1 et m = 1, la fonction est j/ = ^ sin x et le
résultat précédent donne
r « A*
c'^*sin(x+A)==e* sin x+2*A sin (x + ?)+—-• 2sin(x+2?)
L ^-2
/»' iî I
A V siu(x + 5?) -f etc. .
^ 1.2.5 V I r/ . j
5. y «rs c** ces mx.
En opérant comme dans l'exercice 7, chapitre III, on
trouverait
d'*u ~
— ^ = (a* + m^f c" cos (mx -|- tif),
ux
58 EXERCICES MÉTHODIQUES
£t facilement
g«(«*A)çQs njjj. ^ A) a-= e"* cos mx + A(a* -j- m^)* cos(»u*4
+ -r-S" (^* + ^*) ^^* (^^ + ^?)
1 .2
+ j^ («* + m*)«cos(mx + 3,,) + etc. 1 .
Si m = sin i et a = cos t,
g(«+fc)co*« eos[(x+A) sin i\ = e'"" cos(x sin t)+h eo8(x sin i
■A cos (x sin 14- 2t) -4 -cos(xsin( -
•]■
+ elc
6. y==arctangx.
dy 1
dx i + X*
En faisant a = 1 dans le résultat de l'exercice
chapitre III, on trouve
d-arclangx^d-M4-xr^^ „,.^^3 ^^^
dx» dx"-' ^ ' ^ '^
expression dans laquelle o = arc tang - •
Or de cette dernière égalité, on tire
\ 1_
(1 + x^)*
^==sinS, don ; = sin"^
Donc,
d"arc tao^x
dx"
= ( — 4)»-« i .2.3 ...(?i — 1)sinny sin'^ç
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 59
et, par suite,
/* . h* .
arc tang (x + A) = arc tang a; + - sin y sin ^ sin 2f sin* f
+ -=" sin 5f» sin* f — — sin if> sin* f + etc.
3 4
De ce développement on peut déduire
^=^ + sinf +-sin2f +-sin3î) + elc.;
et, par dérivation,
1
= - + cos f -|- cos 2^» + cos 3f> -|- etc.
(Voir EuLER, Inst. cale, diff.)
7. y =« arc cotg x.
On pourrait trouver le développement de arc cotg (x + h)
de la même manière que celui de arc tang {x -{- A), mais
celui-ci peut fournir le premier.
En effet,
arc tang (ar -|- /è) = arc cotg {x -{-h),
arc tang x = arc cotg ^ ■= - — y-
En outre,
1
^ = arc tang - = arc cotg ap = t/,
X
Par substitution de ces valeurs dans le résultat de Fexer-
cice précédent, on trouve
h k"
arc cotg (« + *) = !/ — 7 sin y sin y + — sm 2jy sin* y
sm 3y sm^y -j- etc.
3
H. y
EXERCICES MÉTHODIQUES
y/T—x'
i
V/i-(x+Af 1/7^
'<+'.
X
+ T-;
/*« l+2x* , A* 3x(3+2j;*)
+
H-a* ' i.!2(l-x»)*"*"i.2.5 {i — xj
h* 3(3+24x«+8flc*) , A» i5x(lB+W^
+
+
<. 2.3.4 (1— aY ' 1.2.3.4.5 (1— a?
A* 43 (3 + 90x« + 1 20x* + i 6x«)
h et
i.2.3.4.5.6
S\6
(1 - x«ï
9. Supposons que l'on ait
y =sarcIog tangx,
c'est-à-dire soit y un arc dont le logarithme de la tangente
est X,
On a X = log tang j/, et de cette égalité on tire aisément
les dérivées successives de y par rapport à x.
La formule de Taylor donne ensuite
A sin 2t/ A^ siri 2y cos 2t/ A^ sîn ât/cc
arcIogtang(x + A) = y + -— ^+ — ^+^2^ T
1
1.2
A* sin 2y
-] T— (cos 6y — sin 2y sin Ay)
1.2.3.4 2
+
sin 2iy
1.2.3.4.5 2
(cos 8y — 2 sin 2fysin 6y)-j-
10. y =
i
o* — X*
En faisant 2» =» 1 dans le résultat de l'exemple IV, cha-
pitre III, on a
W—x'l 2a(a*-x*r' [^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ J
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 61
£t) par suite,
2a + — ^ Ha+xy-(a^xf]
i
a* — X*
a'-^ix + hy I2«(a*-x*)
+ (^)'k«+^)'-(«-^)'j
+ elc.
Section II. — Théorème de Maclaurin.
Soit encore y = F (x) une fonction explicite y de x.
En représentant par F (0) et par F' (0), F" (0), F'" (0), etc.
ce que deviennent la fonction et ses dérivées successives
quand on y fait a; = 0, on obtient pour expression du
théorème de Maclaurin
F(a:)-=F(0)+^F'(0) + ^F"(0) + ^F'"(0)+elc.
Si Ton s'arrête au ^i*"* terme de la série,, la somme R des
termes qui suivent est
x"
1.2.3 ... n
ou
R= 1 F«(dx),
6 étant une fraction comprise entre et 1.
Pour que le développement représente la fonction propo-
sée, il faut qu'il soit convergent et que K ait pour limite 0,
quand n croît indéfiniment. Ce sera chose très utile de
s'assurer s'il en est ainsi dans les exercices suivants, comme
dans ceux de la section I, dont les résultats doivent satis-
faire aux mêmes conditions.
m EXERCICES MÉTHODIQLES
Du reste, la série de Haclaurin peut aussi servir au déve- \
I
loppement des fonctions implicites.
Soit
I
On a
F{x) = > d'où F(0)— 1.
l/l — a;
Et, en différentiant,
F^(^)- ^ , - d'où F'(0) = i;
F"(x) = — y^. d'où F"(0)-1^;
F'"(x) 1^^^^,, d'où F'"(0) = î^|:^;
2'{i—a:)* -^
etc.
Substituant les valeurs de F (0), F' (0), F" (0), F'"' (0), etc.
dans la formule de Maclaurin, on obtient
i . , X , DX* 5a' . 35x* .
2(4-
s
1
.3
2*(l
5
— x)*
i .
3.5
Si la dérivée de Tordre w*"* de la fonction proposée était
connue, en y faisant x => 0, on obtiendrait une expression
d'où Ton pourrait tirer F' (0), F" (0), etc.
Ainsi, dans l'exemple actuel.
li/rzr^J
1.3.5...(2n — 1)
ÎH-I-I
2«(i — x) *
et, pour X «= 0,
^ ^^^ 1 .3.5...(2« — i)
F'' (0 = i :
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 63
En faisant donc fiB^l, 2, 3, etc., dans cette dernière
expression, on obtiendrait les valeurs de F' (0), F" (0), etc.
Exemple II.
Soit l'équation y — y -|- x «= 0,
le but étant de développer y en fonction de x par la formule
(le Haclaurin.
En dérivant successivement, on obtient
^Jy l^^yV . [dyVd,'u d^u d'y dy d'y
90-^ — +60 — -^ + 60v— — +30i/-^ —
dx UxV ^ \dxl dx' ^ ^ dx' dx'^ ^ dx dx'
,, Id^yVd'y du [dW du d^y d'y
630 -? _ji-i-420— — +630— -^ —
\dxV rfx^ ^ rfx IdxV ^ c/x dx^ dx'
etc.
^ EXERCICES MÉTHODIQUES
Maintenant si, dans Téquation proposée, on fait x»Oi
on trouve
y' — y^o,
ou
y(y*-1) = 0,
et cette dernière équation est satisfaite quand y -* 0, quan^
î^ «s 1 et quand j/ = — 1.
Ainsi, trois valeurs de y correspondantes à ^ » et pa:^
conséquent trois développements possibles dey en fonctio
de X au moyen de la formule de Maclaurin.
1<> En substituant le couple de valeurs i *^?' dans 1
dérivées successives de l'équation proposée, on tire d
équations résultantes
F' (0) = i , F"(0) == 0, F'"(0) — 6, P'(0) — 0,
F' (0) = 500, F''(0) = , F^"(0) = 60480, etc. ,
et l'on a d'ailleurs F (0) « 0,
La substitution de ces valeurs dans la formule de Mac-
laurin donne
y = X + x' + 5aî^ + i2a;' + etc.
2<> Le couple de valeurs ! ^ Z / fournit de la même
manière
1 3 48
FlO) = i, F'(0) -, F"(0) = ~-, F'"(0)=--,etc.,
et, par suite,
X 3x^ Sx^
3« Le couple 1 ^^^4 donne
F(0)«-i, F(0) = -i, F"(0) = î, F-(0)==-~",elc
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. <i5
D'où
•^ 2^ 8 iC
, m . . m(fn — i) . .
[a -|- x)*" = a*" + Y a*"-' x + ^ ' oT-^x^ + etc.
C'est l'expression du binôme de Newton.
Si fl — 1 et m «= ^ , on trouve
Si l'on avait fail m = — 1, on eût trouvé
a + x a\ a ^ à" a^ * I
Ces deux derniers développements peuvent s'obtenir
directement sans difficulté.
2. y=-a\
a'=i -}--.|oga + — log*a+^j-^log*a+etc.
D'où, en faisant a «= ^,
X . X* . x'
«*«=< A ^-— h etc.
et, en faisant x = 1 ,
«== ^ + ^ +^ + ^7^ + elc. - 2, 718284828...
5. y = Log(a + x).
Log(a4-x) = Loga + Loge[^'-_^ + ^-^ + ctcj.
66
EXERCICES MtlTHOblQUEvS
Si Ton avait // == log (a + x), système népérien, ou
obtiendrait
log (o + x) = log a +
et, si en outre a = i,
X
ï
X' X* X*
X a* x' X*
log(l+*) = -^-2+-3— j + etc.
4. t/ «= sin X.
X
X
SI
iiix'Bs 1 [- etc.
1 i.î2.3^ 1.2.3.4 5 1.2.3.4.5.6.7^
En dérivant les deux membres, on obtient
COS X
I —
X'
+
X'
1.2 ' 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6
+ etc..
développement que Ton trouve facilement, comme celui qui
précède, en se servant de la dérivée de l'ordre n*"* de la
fonction.
5. y =s tang X.
x' 2x' . 17x'
tang X = X -j 1 h
^ ^i.5^1 .3.5^1 .3.5.7.9
6. y = séc X.
séc X = 1 -j +
5x
+
61x'
1.2 ' 1.2. 3. 4 ' 1.2.3.4.5.6
+ etc.
-f-etc.
7. y = are sin x.
En employant l'expression de la dérivée n*""* de la fonc-
tion (chapitre III, exercice 13), on trouve
arc sm x
1 x' , 1.3 X» 1.3.5 x'
X -I 1 1- etc.
^2 3 ^2.4 5 ^2.4.6 7 ^
D'où, puisque arc cos x
n 1 x'
arc cos x»— x
2 2 3
TT
2 — arc sin x,
1 . 3 x' 1.35 X
2T4^~~2.4.6' 7
-r — etc.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 67
8. y =3 arc tang x.
Le résultat de Texercice 6, chapitre VI, fournit en fai-
sant ic + 0, et par suite ? -» |.
arc tang h^>^ h 1 (- etc.
0/
et, en remplaçant h par x,
x^ x' a;*
arc tang x = x [--— f- etc.
3 5 7
Pour arriver directement à ce développement, on ferait
usage des résultats de l'exercice 16, chapitre III.
D'ailleurs, puisque arc colg x = | — arc tang x,
7C X X^ X
arc colg x = x-\ 1 , etc.
e''-'=i J-xH h etc.
^ ^1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5^
iO. y = — — .
cosx
«• , . . 2x* . 4x' . I2x* , 35x*
C08X ^ ^1.2^1.2.3^1.2.3.4^1.2.3.4.5^
H. y=i/r+?.
TT- . y^ / . 'I ^ . 3 x'-' .7 x' . 9 X* \
12. y = e''.
iD, y «a — — izi=zz::=:i •
l/o + 6x-j-cx*
68 KXKKCICES MÉTHODIQUES
En faisant m = — | dans la formule (^) du chapitre III,
on obtient
— ^—(—1)" 1.2.3. . n î— i-
(6+!
i .3 w(ii — 1)(w— 2)(ii — 3) (4flf— 5V 1
1.2.3.4 (6 + 2rx/ J '
expression qui, pour :r «= 0, donne
F"(0) = (— \y \ .2.3 ... n \ \ ? _-
^^ clcj.
1 . 5 fi(ii — M (w — 2) (il — 5) (ioc — tV
"s*
\ .2.5.4
Il suffit de faire n ~ 1, 2, 3 ... dans cette formule pour
obtenir F'(0), F"(0), F'"(0), etc., et, par suite,
r X /> ac» 36«
I I — — -z r -—r
— kae
l/a + 6a: + cx« V/^i L 1 2ci ' 1.2 (2rt)«
etc.
j ^jfS 1 2 1 .Z.0.4
+ 5.3.5. (56»+36*fl—6o«+a»j
1.2.3.4.5.6"^^^^*
Newton. ^
15. y = (a» + ci*x — x»j*.
/ 5 1 4 »Nî . ^ ^ 4 «• 4.9 X*
(a'+aV— x*)*=aH \--t-.
4.9.14
i..<»
5*a
1.2. 3. 4
+ etc.
Newton.
DK CALCl'L DIFFÉHENTIEL 69
!6. y' — ày—\ «0.
_ . la: la* i^3 x* 1*.5«.S x»
i«=a±i -I dfc zp — ; ± zii etc.
^ ^2 1 iM.4^ 2* I. -2.3.4 2« 1.12.3.4.5^
17. ^'—6x^—8 = 0.
I x' X*
^ ^ Î2 i .2.3^1 .2.5.4^
18. \/~sij—\ =0.
X X** X*
Les deux autres valeurs de y sont
, X x' X*
X X' X*
dans lesquelles
— i+v/iis ^ _i_i/ir3
» a
2
19. sin #/ s= X sin («I + »/).
X X* x^
y=Wîr+ - siiiciH siu2tf H 2siiitt(3— 4 sin'd) + ele.
(iV aV tt*x*
l+«-(2«-.) - + (5«- .). i^-(4»- .)• ,-^3^+ etc.
Section lll. — Théorème de Lagrange,
Si y est donnée par une équation de la forme
et si tf es f{y)^ fei (0 étant des fonctions quelconques, u peut
70 EXERCICES MÉTHODIQUES
être développé suivant les puissances de x par la formule
U"f{z) + f(z).f{z).-^. _
+ — d? — T:r5-^'''- • • • (•
Si f(y) se réduit à y, f(z) =. z, f'{z) = 1 et l'on a
Exemple 1.
Soit réquation
alogy + 6 — y = 0,
et supposons qu'on ait à développer y suivant les puissant
de a.
L'équation proposée peut s'écrire
et en la comparant avec l'équation de départ du théorèn
de Lagrange, c'est-à-dire avec
tj^z + Xfiy),
on voit que dans l'exemple actuel
2 = 6, x = a, f(»/) = logy,
f{y) se réduisant d'ailleurs à y.
Donc f (z) = log z = log 6 ,
d . bi'ïï d . (log zr 2 2
dz dz z ^ b "" '
^[y(^)r d\(\ogzf 3|og^
dz* dz* z* * " '
3 loK 6
= — f- (2 - log 6) ,
etc.
DE CALCUL DIKFÉBENTIEL 7i
d.\(p(z)Y
Substituant ces valeurs de x, z, ^iz). » etc., dans
la formule (8) on trouve
y-.6 + -.og6 + --^+— -^(2-log6) + e,c.
exemple II.
Soit l'équation
ae^ — fey -|- c = 0,
y" devant être développé suivant les puissance de |.
L'équation proposée peut être mise sous la forme
c a
et sa cx)mparaison avec Téquation type
fournit
c a
On a du reste f(jy) = y".
Donc c
et
f(z) == z" = M '. d'où r(z) — «z»-«.
Il suit de là que
etc.
et, par dérivation,
— — =.Me^z"-'[3^z- + 2 . 3(/« — 1) z + (« — l)(it — î
lie
WH
+ 2.5(«-l)-+(n~l)(ii-
^likif^/i^ = Me" z"-*[4V+3.4>— I) i'+3.4(M— 1) («— i
(/z"
+ («-<)(
«-2, («-3)] ==„«?(;-)'-' [4' g
etc.
+ 3.4'(«-l)M +3.4(« — !)(« — 2)î
+ («-»)(«-2)(n-3)l.
£n substituant les valeurs de x, de f(z), de ^ {z) f (2), de
, etc., dans la formule (y), on trouve
dz
b a
I + ne' • - • - + ««'
v(')"(0
I .2
[2Î + («-i)]
!/"= r
-!)(»-
j +5.4(,_l)(„_2)î + (ii-l)(/.-S)(« — 5)1 +
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 73
Développer y suivant les puissances ascendantes de -.
y suivant les puissances àe--
3 ay— y + fr — 0,
y suivant les paissances de a.
y = 6M+6"-'«+2n6^-*^ 4-3»(3«-i)6''-» -f!l- _}. elc.l .
Dans chacun des exercices précédents, la série est le
développement de la plus petite racine de Téquation pro-
posée. (Voir, pour tout ce qui regarde la théorie, les Égiui'
Pions numériques de Lagrange et les Mémoires de Ber-
lin, 1768.)
Posant î^* = î/i , l'équation devient
— c b
a a
et si l'on développe l/j/i en fonction de -, on obtient
•^ -^ 2a y al 1.!2 2*ac i.!2.3.4 2*aV
l.i. 3.5.5 6« 1
elc I
1 2.3.4.5.6 2*.aV J'
74 EXERCICES MÉTHODIQUES
série qui représe nte le s deux racines de l'équation pro-
posée, le radical V — - étant pris positivement pour l'une,
négativement pour l'autre.
L'équation devient, quand on fait y* = y„
l l
yi — pyi' + ?==0 ou yi^ — q+py^
et en développant ^,^ suivant les puissances ascendaiB'ftei
de p, on trouve
1 k\ ^ P 2.4 p'
!/i^ = ^ = (-9)Mi+r— ^ ^^
L ^ (—qf 3M.2.3 [—qf
2 . K 4 p* "I
5*. 1 . 2 . 3 . 4 (— qr)» -»
série qui fournit le développement des trois racines C>^^
l'équation proposée, (— q)^ admettant les trois valeurs
-9'. V^ jr et \ ^ )q\
6. ay" — 6y -f- c = 0.
Soit î/" = i/, ; l'équation devient
1 c 6 i
«!/i — '^yi" + c = ou ^4 = h-yA
i ^
puis en développant j/i» en fonction de -, et posant pour
abréger | — ^j ** =^ e, il vient
série qui fournit les valeurs des n racines de l'équation pro-
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 7«
posée en faisant successivement K = i, 2. 3. 4 ... n dans
/'expression
cos hl/— I sin V
\ « n / ^ a
et substituant les résultats à e.
7. a' sin a — y -}- i == 0.
y suivant les puissances de sin a.
. . a sin a . ^. a*sin*a ^ ^a^sin'^a .
y == < + -j— + 21oga . — — +3*(log a)* ^— ^+ etc.
8. y = e-fxlogy,
1/ en fonction de x,
jc 2 X* 3 x' 4 X*
3/ = 6H 1 \--- h etc.
^ ^i^el.â^e* i.2.3^e' 1.2.3.4^
Développer sin [i — ~\ en fonction de a.
I \\ é a*
sin \\ a= a 1 etc.
\ yl 1.2.3^1.2.5.4.5
40. «y— y+|==0.
Développer e".
/ 3c* 4V 5V . \
c» = e 4 + c H 1 --— h etc. .
\ ^ ^1.2^1.2.3^1.2.3.4^ /
11. y« — 2y + l=0.
Développement de log y.
La plus petite des racines de Téquation proposée pouvant
être considérée comme égale à 1, on a
logi-0=logi + i+^. + clc.
76 EXERCICES MÉTHODIQUES
D'où
12. y« — % + 6-=0.
Développement de jf.
On a 2f »3*, puisque 2 est la plus petite des racines d
réquatton proposée.
13. y' — ij + i^O.
Développement de y*.
„(„-l_9)(« + io)(« + n) _
+ rT:n +""••
14. aiy' — 6y-f-c = 0,
somme des h**"" puissances négatives des racines.
Lagrange a démontré que, y étant fournie par l'équa-
tion y'='Z-\'Xrf (y) et — par le théorème, l'ensemble des
termes de la série contenant les puissances négatives de z
est la somme des n^'"" puissances négatives de l'équation.
Si donc a et {i représentent les racines de féquation
proposée, on trouve facilement
^"'"^'"Ic/ l Tî"^ 1.2 6*16/
TÏ:^^ 6^l6J+^^^
■]•
en ne prenant de la série que les termes qui renferment des
puissances positives de ^ ou, ce qui revient au même, des
puissances négatives de j
DE CALCIL DIFFERENTIKL 77
Le développement tout entier de— serait celui de la plus
petite racine de Téquation.
15. oy- — 6y + c =» 0.
En représentant par £ (a"") la somme des ?i*"*'* puissances
des racines inverses, on trouve
n{n — 3m + ^)(w — 3m + 2) (c
/c >»"'-' a' 1
1 .2.3
en ne prenant de la série que les termes qui renferment
b
c
des puissances positives de -
Si dans Téquation proposée on changeait y en - et qu'on
cherchât la somme des n*""" puissances des racines inverses
de l'équation transformée, cette somme serait celle des
n*"** puissances des racines de l'équation primitive.
1C. tt = < + <»sin w.
Développer u et sin u en fonction de e.
On trouve
# 6^ 3 c^
u as { -f sin f . - 4- sin 2< . h - (3 sin 3/ — sin
e*
+ (8 sin 4l — 4 sin 2/) — -- + etc.
1 • 2 • 3 . 4
et
sin ^t e 3 sin 3l — sin ( e*
sin « = sin / H 1 :
^21^ 4 1.2
(»*
+ (2 sin 4/ - sin 20 — — - + etc.
1 .z. 5
L'équation proposée est celle du problème de Kepler,
célèbre en astronomie : / désigne le temps ou une quantité
qui lui est proportionnelle; e représente l'excentricité de
Torbite elliptique d'une planète et u l'anomalie excentrique.
78 EXERCICES MÉTHODIQUES
e
17. y= ^
Développer i/" suivant les puissances ascendantes de e.
En considérant z=zi. comme Tune des racin
d'une équation du deuxième degré, dont l'autre ser
e
, l'équation elle-même serait
6
et, de là, par le procédé ordinaire,
»-(5r['+"©'+^'(i)'+-]-
18. Développer — suivant les puissam
ascendantes de x.
Posant l/i — 2xz-j-x*= 1 — xy ,
on tire de cette égalité
\ rfy
V/i _ 2xz + X* ^^
et
La comparaison de cette dernière équation avec l'éqi
tion type donne
f{y)=^(y'-i)-
D'autre part, la formule (8) fournit par dérivation
dj d.f{z)x d^.[,{z)J ^ d?.U(z)f x'
da" "^ dt i"^ dz* l.a"*" dz' 1.2.3"*"
Donc
1 X d.{z*-l) X' d'.(x'— 1)
\/ l-8xz + x» "^i-a dz -^i.2.2' d«« ■*■'
Soit
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 70
CHAPITRE VII.
CHANGEMENT DE YARIÀBLES.
Premier c«a«
Une seule variable indépendante.
I dy d^y d'y \
une expression contenant une fonction j/ de la variable indé-
pendante X et les dérivées successives de y par rapport à x.
S'il s'agit de chercher ce que devient l'expression (a)
^uand la variable indépendante est j/, on y fera
(f*X
/rf^y dx d'x
\dy^l "d^dy"
^ Ux dx dx^ fdxy' dx' fdxy ' '
d^ [d^J [d^J
Si Ton veut savoir ce que devient (a) quand la variable
indépendante est t au lieu de x, les variables x et t étant
liées par l'équation
9>(x, = 0,
dans les formules
dy dx d^y dy d^x
dy _Tt d\y _ dJlF^ " Tt IC'
dx dx dx* ldx\
di
(2)( dx/dx\d!^y __d^£x\^^^
d^y 'di\dif'd^'" di df] dlAd i di* ~Ttd?
iW
(S)
1 elc.
.80 EXERCICES MÉTHODIQUES
on remplacera -^, ^, ^, etc., par leurs valeurs tirées de
l'équation de liaison^ puis, dans (a), on portera les expres-
sions qui en résulteront pour ^l»^^» 5]^» etc., ainsi que la
valeur de a; en / fournie par Téquation 9 = 0.
Enfin, si Ton désire connaître ce que devient (a) quandy
et X sont remplacés par u et {, les quatre variables étant
liées par les équations
on remplacera dans les formules (2) ^, ^, -^^ -^, etc.,
par leurs valeurs obtenues en dérivant les équations (1<^
liaison par rapport à /, puis, dans (a), on portera les exprès^
sions de ^, ^, 5^, etc., ainsi que celles de x et y en loncr
tions de u et ^ fournies par la résolution des équations
f I = 0, «p. = 0.
ik
I^îl"
Que devient cette équation quand la variable indépen-
dante est yl
En faisant usage des formules de transformation (1), on a
dxV lé.y '/dxX
/dxy IdxV
\dyl Uvl
,dyl \dyJ \dyl
ou, en changeant les signes et chassant les dénominateurs,
d*x dx
_ + ,_ + , = 0.
\dt^ dtl
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 81
Exemple II.
Changer la variable indépendante x en ^ sachant que
i = log X.
De réquation de liaison on tire, en remarquant que a: =6',
dx d*x d^x
di^^^l^^^'
Substituant les valeurs de ces dérivées dans les formu-
les (2), on obtient
dx di
rfi' Xdi'^'dl di*
et, en remplaçant x et les dérivées précédentes par leurs
valeurs dans l'équation proposée,
<f tf , dy
Exemple III.
Que devient cette équation quand les variables sont u
et (, sachant que
y = 11 — tt
6
82 EXERCICES MÉTHODIQUES
Les équations de liaison donnent
dx du
dy du
Substituant dans la première des formules (2), on
du
dy dt
dx du
Les équations de liaison fournissent encore x-{-y
Remplaçant ^ + î/ et ^ par les valeurs trouvées, 1
tion primitive devient
du
Tt"'
(2î/ — 6)- [. 2i/ + 6 = 0,
^+<
du
ou w -- 4- 5 = 0.
di *
1. L'expression du rayon de courbure des courbes {
quand x est la variable indépendante, est
K(i)l'
dx"
Que devient-elle quand y est la variable indépenda
8
r idxv^'*
On trouve
[' - ©1
rfjT*
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 83
(S+»i)(ir-(ê)'.(4+")--
Que devient cette équation quand la variable indépen-
[dante est </?
Elle devient d'x , , d*x [dxV
dy-
dy'
idyl
dy
ts. (|_a:)'-f + 2a(1 +x)=0.
ax
1 +x
Changer x en ^ sachant que t =
1 — X
On trouve
— + a/
0.
4. (1 + X*) x-^, - /fi — x^y l/r+7*^ — x*i/« = 0.
Prendre ^ pour variable indépendante, sachant que
On obtient
( = 1/^4- x\
d'v dw
de* ' ^ de -^
. ,._..,(g)'_,.„_.,|g+(|)V..„.
Prendre t pour variable indépendante, sachant que
Xassin t.
Le résultat est
(§)■+(
dy>
+ 1 = 0.
6. (|_.vg-Mi-x«)^^+,-^y-=0.
Prendre t pour variable indépendante, sachant que
e" — 1
x =
On trouve
«"+1
+ «(e'' + l)t/=0.
84 EXERCICES MÉTHODIQUES
i dy cP v
Prendre t pour variable indépendante, sachant que
X* « U.
Le résultat est
y + '^+t^^O.
(FouRiER, Traité de la chaleur.)
Que devient cette expression quand les variables sont
r et t^ sachant que
x = rcost, y = r8in<?
Elle devient r
di
9.
h (1)1
Changer de variables sachant que x = r cos t, y^*r sin t.
On obtient, pour l'expression du rayon de courbure en
coordonnées polaires, 1
dx"
10.
[• + (I)']'
\
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 85
Transformer cette expression en une autre dans laquelle
I la variable indépendante soit s^ sachant que
' (S'-'+Ê)-
On obtient, en faisant usage des formules (2),
d*y dx rf'x dy
ds^ ds dh* ds
H, |^(x_y)l/iïZ:7+(x-t/)^-2y*l~^
Changer les variables y et x enu ei t^ sachant que
X = u* + (',
y = 2we.
Le résultat est
du
'^ •»ê-'(ir+'-»-
Changer les variables y ei x en u ei t, sachant que
X = t\
y =e-.
On trouve d*«/ du
rf(* dt '
Second eaa.
Plusieurs variables indépendantes.
Soit l'expression
/ dz dz d^z d*z d^z \
renfermant les dérivées partielles des divers ordres de la
fonction z par rapport aux variables indépendantes x eiyei
les variables elles-mêmes.
Pour savoir ce que devient cette expression quand a; et y
86
EXERCICES MÉTHODIQUES
sont remplacés par une autre variable ^ liée à x et y par
l'équation
on substituera aux dérivées partielles que (P) renferme leurs
valeurs déterminées par les formules
(5)
\
dz _
dx
dz_
dy
d?^
etc.,
dz dt
dt dx
dz dt
dt dy
d^zldlV- dz d^t
d?\dbcl '^ Iftd?'
dt dt
après toutefois que, dans celles-ci, on aura remplacé ^, ^,
^, etc., par les expressions que Ton trouve pour ces quan-
tités en dérivant Téquation de liaison. — La question n^est
susceptible de solution que si, en vertu de réquation de
liaison, l'expression finale peut être débarrassée de x et dey.
Pour trouver ce que devient l'expression (p) quand les
variables indépendantes x et y sont remplacées par deux
autres variables indépendantes t et t;, liées aux premières
par les équations
fi{x,y, V, = 0,
ft{x, y, V, = 0,
dans les formules
(4) . .
dz
dx
dz
dy
etc.,
dz dv dz dt
dv dx dt dx
dz dv dz dt
dv dy dt dy
on remplacera ^, ^, ^, ^, etc., par leurs valeurs tirées des
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 87
équations de liaison, puis, dans (^), on portera les expres-
sions qui en résulteront pour ^, ^, etc., ainsi que les
valeurs de x et y en fonction de t; et de t fournies par la
résolution des équations 0| =«0, cpj = 0.
Remarque. — Si les équations de liaison fournissent
directement ou aisément x et y en fonction de v et t, on
partira des formules
dz dz dx dz dy
dv dx dv dy dv
(S) (^ dz dz dx dz dy
dt "~ Jx dl dy dt '
etc.
On y remplacera ^>-£*-^y£* etc., par leurs valeurs don-
nées par la dérivation des équations de liaison, puis on en
tirera les expressions de —, ^, etc. Le problème s'achèvera
comme précédemment.
Enfin, si l'on désire connaître ce que devient l'expres-
sion (fi) quand x, y et la fonction z elle-même sont rem-
placées respectivement par t, v et u, variables liées aux
premières par les équations
fi(«, y, ac, M, v, o==o,
y<(z, y, X, w, V, = 0,
f5(^, y y 3c, w, v, t) = ;
dans les formules
du du dv du dt
dx dv dx dt dx
(6) [du du dv du dt
dy dv dy dt dy
etc.,
88 EXERCICES MÉTHODIQUES
on remplacera g. %, |, %, g, |. etc.. par leurs valeurs
tirées des équations de liaison, puis, des équations résul-
tantes, on tirera les expressions de ^, ^, ^, etc. Restera
à substituer dans (P) les valeurs de ces dérivées et celles
de Xy yi z en fonction de u, v, t fournies par la résolution
des équations ©^ = 0, çt = 0, çb == 0.
Remarque, -r- Si les équations de liaison fournissent
directement ou aisément x^yetz en fonction de u, v^ t, on
partira des formules
(7)
dz
dv
dz dx ^ dz dy
dx dv dy dv
dz
di'
dz dx dz dy
~ dx dt dy dl
etc.,
et Ton suivra une marche analogue à la précédente.
Si une expression renfermait trois variables indépen-
dantes, questions et solutions semblables.
Rxemple I.
d^z dh
Que devient cette équation quand x et y sont remplacés
par r, sachant que
On a, formules (3), dans lesquelles t est remplacé par r,
dz dz dr
dx dr dx
dz dz dr
dy dr dy
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 89
et, en dérivant l'équation de liaison,
dr dr x
x=^r ---> doù -— =-,
dx dx r
dr , dr y
y=^r-—9 dou -— =-•
dy dy r
Substituant ces valeurs de ^ et de ^ dans les expres-
sions de ^ et de ^, il vient
dz dz X
dx dr r
dz dz y
-•i^— ^SSS ^"^-^ ^B *
dy dr r
Dérivant de nouveau, on a
d^z d*z dr X dz \ dz dr x
dx* dr* dx r dr r dr dx r*
d*z d*z dr y dz \ dz dr y
dy* dr* dy r dr r dr dy r*
Ou bien
(£z
dx
!r_d*z X» dz/i _x*\
*'^d?7'^dr\r~'?l*
d*z _^^y* dz l\ ^y*\
d?~d?'?'^d?\r'^l^)'
dy
Substituant ces valeurs dans Téquation proposée, elle
devient
d*z/ x* + y* \ dzl^ x* + y* \
dr* l rW "*" c/r \r r' / '
ou
d*z i dz _^
dr* r dr
On rencontre cette équation dans la recherche du mou-
vement des fluides.
90 EXERCICES MÉTHODIQUES
Kxeniple II.
dz dz
X- y — •
dy dx
Que devient cette expression quand on remplace y et x
par r et t, sachant que
x = rcos tj
t/ = r sin I ?
On a, formules (5), dans lesquelles r est remplacé par r,
dz dz dx dz dy
dr dx dr dy dr
dz dz dx dz dy
dt'^dxTi dy dt
La dérivation des équations de liaison donne d'autre part
dx dy
— s=rcost, -p=smf,
dr dr
dx dy
—-=— rsmt, -^ = rcos^
dt dt
Substituant les valeurs de ces dérivées dans les équa-
tions précédentes, il vient
dz dz dz
-— = -— cos ï 4- -7- sm ty
dr dx dy
dz dz dz
-— = rsmt-j r cos t.
dt dx dy
Éliminant tour ai tour ^ et ^ entre ces équations, on
obtient
dz dz dz sin t
— - = _- ces f ; y
dx dr dt r
dz dz , dz cos t
— « — sin e + -j
dy dr dt r
DE CALCUL DIFFÉRENTIKL. H
Par substitution, l'expression proposée devient donc
Cdz . dz cos A (dz dz sin t\
— sin < H — r sin M -— cos t »
dr ^ dt r I \dr dt r I
ou, après réduction, dz
di
Cette transformation se rencontre dans la théorie des pla-
nètes.
Ksemple III.
X* \dxl ^ y* \dyl
Que devient cette équation quand les variables z, y et x
sont remplacées respectivement par u, v et /, sachant que
« = X* + y\
Iog-« = z?
On a, formules (6),
du du dv du dt
dx dv dx dt dx
du du dv du dt
dy dv dy dt dy
En dérivant les équations de liaison par rapport à x
d'abord, à y ensuite, on trouve
du dv dt dz
2x, — = 2x, — =2e'--.
dx dx dx dx
du ^ dv dt dz
dy •^ dy dy dy
Substituant les valeurs de ces dérivées dans les deux
ouations précédentes, il vient
du dz du
X = X f- c' — — »
dv dx dt
du dz du
^'^'~^dv dy H
9S EXERCICES MÉTBODIQUES
D'où
dz
4*-ê) d. y{'+'£)
dx du dy du
dt dt
Portant ces valeurs de 57 et de ^ dans l'équation p
dx dy
posée, elle devient
'■ .(-)■ ■»■ .
+ -. 73771 «•-<>.
OU
(S)
ou encore, puisque e* == ^t, en vertu de la troisième éq
tion de liaison,
Remarque. — Il y a souvent avantage à ne rempli
les variables par leurs valeurs en fonction des nouvelles
dans l'équation finale.
(dzV . fdzV
Que devient cette expression quand x et y sont rempl
par t, sachant que
l/ï*+7« = log ( ?
On trouve
- (§)■•
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 93
d^^~df
Que devient cette expression quand xeiy sont remplacés
par ty sachant que
«« — y* = 6*?
L'expression devient i d^z
a^^ . «. « « ^'^ . , «''^ »^^ «^^
Que devient cette équation quand x et j/ sont remplacés
par ty sachant que
On obtient d^z \ dz
de ""ï di^
dz , dz
Que devient cette expression quand xet y sont remplacés
par t et r, sachant que
X = r cos t ,
y csar sin (?
Le résultat est
dz
'dr-
5. '^^+'^^ = 0.
Que devient cette équation quand x et y
sont
remplacés
par ( et r, sachant que
•
xa= r cos(,
y ■= r sin t ?
On trouve d^z .
\ d^z \ dz
rfr- +
r^ dt^ '^ rdr^ '
»4 EXERCICES MÉTHODIQUES
, rfdzV dz dz\ . VldzV dz dz'\
Que devient cette équation quand a; et y sont remplacera
par t et v, sachant que
X — (f + »')»,
Le résultat est v' ( ^^ j — (' l-^l = 0.
Que devient cette expression quand xeiy sont remplacés
par t; et f, sachant que
Elle devient dh dh
d?'di^'
d*u d^u d^u
Que devient cette équation quand x, t/, z sont remplacés
par r, sachant que
On trouve d^u '2 du
9.
y — x
\ ^dxldy \ ^dyJdx
Que devient celte expression quand z, y et x sont rem-
placés par u, t; et ^ sachant que
u = log \/x* + y\
V es arc tangz,
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 95
Le résultat est , / , du du\
(T* cos' V h -T-
\ dv dtl
d^u d^u d^u
d^'^d^'^l:
^^ xj + :n:i + :7n = ^-
Que devient cette équation quand les variables indépen-
dantes X, y, z sont remplacées par t, r, 'f , sachant que
a:s=r ces f,
y = rsin f sin f,
;; = r sin ^ cos f ?
Soit posé p -= r sin ^ p étant une variable auxiliaire.
r. ly==^sino, (/î = rsin(,
On aura \^ ^ ^ et r
( z = /» cos f> , ( X = r cos ( ,
et, d'après le résultat de l'exercice S,
d^u dht d^u 1 ^•'i^ ^"
flPfi (i'w rf*M I d*u \ du
D'autre part, en suivant le procédé ordinaire (voir
l'exemple II), on trouve
i du i du ^ cotg t du
P dp
Additionnant les équations (1), (2) et (3), il vient
d*M d^u <Pu d^u i dhi i d^u ^^ 2 du cotg t du
l?'^d^*'^d?'^d?'^?'d^'^77^'^'rd^
Substituant à p sa valeur, on trouve enfin pour ce que
devient l'équation proposée
a. smt-T-
r — l — i H = 0.
dr" ^sin'f df'^ûiM dt
96 EXERCICES MÉTHODIQUES
Cette équation, due à Laplace, est importante en physique
mathématique.
CHAPITRE VIII.
ÉLIMINATION DES CONSTANTES ET DES FONCTIONS.
Soit réquation
F(x,y, a) = 0),
renfermant la constante a.
Pour obtenir une équation différentielle qui ne contienne
plus la constante, on dérive l'équation (1), puis on élimine
a entre cette dérivée du premier ordre et l'équation pro-
posée.
Si l'équation est de la forme
F(x,y,a,6) = (2),
c'est-à-dire renferme deux constantes a et fr, on en cherche
les dérivées première et deuxième, puis, entre ces dérivées
et l'équation (2), on élimine a et b.
Et ainsi de suite.
Soit l'équation
F[x,t/,r,y(u)]«:0 (5),
(f désignant une fonction arbitraire de m, et u une fonction
déterminée de Xj t/, z.
Pour obtenir une équation aux dérivées partielles qui
ne renferme plus la fonction arbitraire, on dérive l'équa-
tion (3) par rapport k x ei h y tour à tour, puis, entre ces
dérivées et l'équation primitive, on élimine <p (m) et <p' (u).
Si l'équation renferme deux fonctions arbitraires de u et
DE CALCUL DIFFÉIŒNTIEL. 97
de v^u eiv désignant des fonctions déterminées des varia-
bles, c'est-à-dire si l'équation est de la forme
F[a:,y,2,f(w),v^W] = .... (4),
on en cherche les dérivées partielles des deux premiers
ordres, puis, entre ces dérivées et l'équation (4), on éli-
mine (p(M), 4>(t;), 'f'(w), t|;'(y), (p"(u) et ^"{v).
Et ainsi de suite.
Exemple 1.
Eliminer a et 2» de l'équation de la sphère
(x - a)« -f- (2/ - 6)« = R' (1).
Les dérivées première et deuxième de Téquation sont
(x-a) -|-(y_6)^=0 .... (2).
* + 0^-ft)g + (g)=O . . . (5).
De (3), on tire
1
«t, par substitution de cette valeur de ^ — b dans (2),
\dxl dy
X — a = •
ct^y dx
Substituant dans (1) les valeurs de x — a et de y — fr,
on trouve facilement
['+(!)']
dx*
98 EXERCICES MÉTHODIQUES
C'est Texpression du rayon de courbure des co
planes.
RxcBiple II.
Éliminer ^ de Téquation
y — «z == ^{x — mz).
Les dérivées partielles de Téquation, par rapport
à y y sont
dz I dz\
— n — - = f'(x — mz) \\ — ni--] f
ax \ dxJ
dz dz
I — n — = — f'(x — mz) m r—»
dy dy
Divisant ces deux équations, membre à membi
obtient après réductions
dz dz
dx dy
C'est l'équation dififérentielle des surfaces cylindi
Kxemple III.
Eliminer cp et ^ de l'équation
z^Xf(z)'j-yi>(z).
On a
ou bien
dz dz dz
- = ,(.)+x,(z)- + yf(.)-.
dz ^ dz , dz
-- „x) + y, (z) _+./(.)_
dz
— [l-a-y'(z)-J/f(z)] — f(2).
dz
— [1 — Vu) — y*' W] = *{2)-
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 99
Divisant ces deux équations, membre à membre, il vient
dz
dx f{z)
dz ^(z)
dy
•
Posant 44 = F(z),
dz
dx
dz
dy
Dilfërentiant de nouveau, tour à tour par rapport à a: et à
y^ on obtient
dz d*z dz d*z ^ dz ldz\}
dy dx* dx dydx dx \dyl
dz dh dz d^z /dz\^
= F'iz) — •
dydxdy dx dy* \dy'
Multipliant respectivement ces équations par j- et ^,
)uis soustrayant,
IdzVd^z dz dz d*z (dzVd^z
ydyl dx* dx dy dxdy \dx) dy* '
équation différentielle des surfaces gauches à plan directeur.
Nota. — Généralement, pour abréger, on pose
dz dz d*z d*z d*z
-j^'^'P^ T'^^' T'i^^' l'^r"^^' Tl'^''-
dx dy rfa* dxdy dy*
En faisant usage de cette notation, les résultats des deux
derniers exemples sont
mp -{^nq^^i,
q*r — ^pqs + p*« = 0.
EoDeweieeê*
1 . Éliminer a de l'équation
m
y = ax A •
a
224097R
iOO EXERCICES MÉTHODIQUES
On trouve
(gr-i+"-«-
2. Éliminer a de l'éq'uation
X — y =06 "'.
L'élimination fournit
3. Eliminer a,, a^, a^ ... «„ de l'équation
y «s <ï|j;" -f- a^x" * + «sX""* + ••• + ^n^-
Le résultat est
dy 1^ o'y a' rf'i/ x"
4. Eliminer a, fr et c de l'équation
z = ox + 6y -|- c,
2/ étant fonction de x.
On trouve
a^y d^z d*z d^y
d? d?'^dx'd?^^'
équation de condition pour qu'une courbe à double
bure soit plane.
5. Éliminer a de l'équation
{am -{- n) (x^ — ay-) =» ak*.
On trouve
niy i-j-) + i^^* — ^y^ ~^^'^d"^ ^^^ ™ ^'
6. Eliminer a et & de l'équation
y^*=a{)/' — x\
L'élimination donne
^y MyY , ^V
^y ryy , ^y
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QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55, A PARIS.
.•nroi franco dans toute l'Union postale contre mandat de poste ou valeur sur Paris.
TRAITÉ
D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE
PAR
Henri WEBER,
PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES A l' UNIVERSITÉ DE STRASBOURG.
» »
TRADUIT DE L'ALLEMAND SUR LA DEUXIEME EDITION
Par J. GRIESSy
Ancien Élève de l'École Normale supérieure,
Professeur de Mathématiques au Lycée Charlemagne.
PRINCIPES. - RACINES DES ÉQUATIONS.
GRANDEURS ALGÉBRIQUES. - THÉORIE DE GALOIS.
DN BEAU VOLUME GRAND lN-8 DE XII-764 PAGES; 1898 22 fr,
Extrait de la Préface de la première édition.
Le développement pris par rAl<2:èbre dans ces dernières années eemble
justifier une exposition d'ensemble des diverses théories de cette Science
et de leurs multiples applications, môme après le livre de Serret, si excel-
lent pour l'époque où il a été publié.
J'ai réfléchi depuis des années au sujet de cette entreprise, dont la
grandeur et l'étendue ont exigé bien des travaux préparatoires. He n'est
qu'après avoir parcouru plusieurs fois tout le domaine de l'Alffèbre dans
mes Leçons d'Université, et après avoir traité certaines parties d'une façon
plus détaillée, que je me suis décide à la rédaction de l'Ouvrage dont voici
le premier Volume.
Mon intention a été d'écrire un livre d'enseignement qui n'exige du
lecteur que peu de connaissances préliminaires, tout en le faisant pénétrer
dans l'Algèbre moderne, et le conduisant jusqu'aux parties élevées et difD-
— 2 —
ciles où Ton commence vraiment à éprouver un vif inlérôt pour le sujet.
Les connaissances nécessaires, aussi bien celles d'ordre élémentaire que
celles d'ordre supérieur, devaient résulter du développement même des
théories, afin que l'exposition fût aussi indépendante que possible d'autres
Traités.
Deux théories ont acquis une importance toute particulière pour le
progrès de l'Algèbre moderne : d'une part, la théorie des groupes, qui
tenu de plus en plus à dominer les sujets les plus divers» et contribue à
répandre partout l'ordre et la lumière; en second lieu, la théorie des
nombres. Quoique l'Algèbre s'étende bien au delà de la théorie des nom-
bres, qu'elle touche à bien d'autres domaines, par exemple à la théorie des
fonctions, et même à la Géométrie par ses applications, c'est pourtant la
théorie des nombres qui fournit le meilleur exemple pour toutes les consi-
dérations algébriques ; les problèmes de cette théorie qui excitent aujour-
d'hui un intérêt particulier sont avant tout de nature algébrique. La route
à suivre dans mon travail m'était donc tout indiquée.
Cette énorme matière est répartie en deux Volumes. Le premier Volume
contient la partie élémentaire de l'Algèbre, qu'on peut désigner par l'ex-
pression usuelle de Calcul littéral, les règles pour la détermination du
nombre et de la valeur des racines d'une équation, enfin l'exposé de la
théorie de Galois.
Le second Volume, qui, je l'espère, suivra le premier à courte distance,
contiendra la théorie générale des groupes finis, la théorie des groupes
de substitutions linéaires et leur application à différents problèmes parti-
culiers ; il se terminera par la théorie des Nombres algébriques : ]'ai tenté
d'y réunir les différents points de vue sous lesquels on a considéré cette
théorie jusqu'à présent.
Ainsi qu'il ne pouvait en être autrement pour une science envoie de dé-
veloppement rapide, et sur laquelle on travaille des côtés les plus divers,
les locutions et notations de l'Algèbre sont multiples et souvent peu con-
cordâmes. C'était une difficulté de plus pour faire un exposé bien homo-
gène et rendre possible l'accès des divers travaux concernant le suj^t.
Je me suis efforcé en conséquence d'adopler et de conserver une termi-
nologie aussi rationnelle que possible, après avoir pris conseil de beaucoup
de mes collègues. J'ose exprimer l'espoir d'avoir contribué par là à la fixa-
tion d'un langage al.2:ébrique homogène.
Les indications bibliographiques et historiques données dans le cours du
Livre n'ont aucunement la prétention d'être complètes; je me suis pourtant
efforcé de mentionner, à l'endroit convenable, les sources les plus impor-
tantes. H. Weber.
Extrait de la Préface de la deuxième édition.
Le plan et la suite des idées de la première édition ont été conservés
dans leur ensemble. Néanmoins toutes les Parties en ont été revues à plu-
sieurs reprises; bien des choses nouvelles ont été ajoutées, en partie pour
rectifier quelques ^erreurs ou pour augmenter la clarté de l'exposition, en
partie pour tenir compte de travaux récents et rendre ainsi l'Ouvrage plus
complet. H. Weber.
Table des Matières.
LIVRE L Les principes. — Chap. T. Fonctions rationnelles. Fonctions
entières. Théorème de Gauss. Division. Division par une fonction linéaire.
Fonctions fractionnaires. Divisibilité. Plus grand commun diviseur. Produit
— 3 —
de facteurs linéaires. Formule du binôme. Interpolation. Solution du pro-
blème de l'interpolation par les différences i Suites arithmétiques d'ordre su-
Êérieur. Développement de la puissance d'un polynôme. Fonctions dérivées,
►érivée d'un produit. Fractions rationnelles. Développement d'une fonction
fractionnaire par rapport aux puissances décroissantes de la variable. Fonc-
tions entières de plusieurs variables; formes. Dérivées des fonctions de plu-
sieurs variables. Théorème d'Ëuler sur les fonctions homogènes. Fonctions
réductibles et irréductibles. — Chap. II. Déterminants, Permutations de
n éléments. Permutations de première et de seconde espèce. Déterminants.
Théorèmes principaux relatifs aux déterminants. Déterminants mineurs. Ex-
tension de l'idée de déterminant mineur. Equations linéaires et homogènes.
Elimination entre des équations linéaires. Equations linéaires non homogènes.
Multiplication des déterminants. Déterminants formés avec les mineurs.
Théorème de Sylvester. — Chap. III. Les racines des équations algébriques.
L'idée de racine. Racines multiples. Continuité des fonctions entières. Chan-
gements de signe de f{x). Racines des équations de degré impair et des
équations binômes Résolution d'une équation binôme à l'aide des fonctions
trigonométriques. Disparition du second terme d'une équation. Equation du
troisième degré. Formule de Cardan. Forme donnée par Cayley à la formule
de Cardan. Equation du quatrième degré. Démonstration du théorème fon-
damental de 1 Algèbre. Algorithme pour le calcul des racines. Valeurs numé-
riques des fonctions entières. Continuité des racines. — Ciiap. IV. Fonctions
symétriques. Idée des fonctions symétriques. Fonctions symétriques fonda-
mentales. Les sommes de puissances semblables. Démonstration du théorème
fondamental dans le cas de deux variables. Démonstration générale du même
théorème. Deuxième démonstration du théorème sur les fonctions symétriques.
Discriminants. Critérium du nombre des racines distinctes. Discriminants
des formes du troisième et du quatrième ordre. Résultants. Détermination
des facteurs communs. Elimination. Théorème de Bezout. Elimination entre
trois équations. Degré et poids du résultant. Théorème de Bezout. Transfor-
mation de Tschirnhausen. Application aux équations du troisième et du
quatrième degré. La transforniation de Tschirnhausen pour l'équation du cin-
quième degré. — Chap. V. Transformation linéaire. Invariants, La trans-
tormation linéaire. Formes quadratiques. Décomposition d'une forme quadra-
t.ique en sommes de carrés. Loi d'inertie des formes quadratiques. Transfor-
mation des formes du n»*"»« ordre. Invariants et covarianls. Transformation
linéaire des formes binaires. Formes binaires du troisième ordre. Le système
oomplet des invariants de la forme cubique binaire. Formes du quatrième
degré. Résolution de l'équation du quatrième degré. Covariants. Le système
complet des invariants de la forme du quatrième degré. — Chap. VI. La trans-
formation de Tschirnhausen. Forme donnée par M. Hermite à la transforma-
tion de Tschirnhausen. Propriété invariante de cette transformation. Déve-
loppements sur le théorème de M. Hermite. Transformation de l'équation du
troisième degré. Transformation générale. Le bezoutiant. Transformation de
l'équation du cinquième degré. Forme normale de l'équation du cinquième
degré.
LIVRE IL Les racines. — Chap. VII. Réalité des racines. Généralités sur
!a réalité des racines et sur les discriminants. Discussion des équations du
second et du troisième degré. Discussion de l'équation du quatrième degré.
Signification du bezoutiant au point de vue de la réalité des racines. Inertie
des formes quadratiques. Formes quadratiques à discriminant nul. Formes
|uadratiques à discriminant non nul. Nombre des carrés positifs et négatifs.
Application au bezoutiant. — Chap. VIII. Théorème de Sturm, Le pro-
blème de Sturm. Les suites de Sturm. Premier exemple : Fonctions sphé-
riques. Deuxième exemple : Equation séculaire. Les fonctions de Sturm.
Solution du problème de Sturm, d'après M. Hermite. Détermination de la
forme H de M. Hermite. Discriminant de la forme H. Position du problème
d'après M. Hurvvitz. Principes de la théorie des caractéristiques. Caractéris-
tique d'un système de trois fonctions. Relations entre la caractéristique et
les points d'intersection. Application des caractéristiques à la délimitation
des racines complexes d'une équation. Détermination de la caractéristique.
Première démonstratfon donnée par Gauss du théorème fondamental de
FAlgèbre. Théorème de M. Ilurwitz. — Chap. IX. Limites du nombre et de
la valeur des racines. Le théorème de Budan et Fourier. Règle de Newton.
Théorème de Descartes. Critérium de Jacobi. Comparaison géométriqne des
différents critères d'après M. Klein. Limite supérieure des racines. Limites
des racines imaginaires. Théorème de Holle. Théorèmes de Laguerre sur les
équations qui ont toutes leurs racines réelles. — Chap. X. Approximation
des racines. Interpolation. Be^ula falsi. Méthode d'approximation de
Newton. Méthode d'approximation de Daniel BernouIIi et méthodes con-
nexes. Méthode d'approximation de Greffe. Résolution trigonométrique de
l'équation du troisième degré. Méthode de Gauss pour la résolution des
équations trinômes. Calcul des racines imaginaires d'une équation trinôme.
— Chap. XI. Fractions continues. Transformation d'une fraction commen-
surable en fraction continue. Développement d'un nombre irrationnel en
fraction continue. Les réduites. Analyse indéterminée à deux inconnues.
Convergence des réduites. Nombres équivalents. Développement des nom-
bres équivalents en fractions continues. Irrationnelles quadratiques. Nom-
bres réduits à discriminant négatif. Nombres réduits à aiscriminant positif.
Développement d'une irrationnelle quadratique réelle en fraction continue
Exemples. Equation de Pell. Détermination ae toutes les solutions de l'équa-
tion de Pell, à l'aide de la solution positive minima. Approximation des ra-
cines réelles d'une équation numérique parles fractions continues. Racines
rationnelles d'équations à coefficients entiers. Equations réductibles. —
Chap. XII. Pacines n^^"^ de V unité. Les racines /i^*»" de l'unité. Racines
primitives. Equations aux racines primitives d'ordre n. Le discriminant de
l'équation de division du cercle en parties égales. Racines primitives d'une
congruence. Multiplication et division des fonctions trigonométriques. Dé-
termination du signe. Restes quadratiques.
LIVRE III. Les grandeurs algébriques. — Chap. XIII. Théorie de Galois.
L'idée de corps. Adjonction. Fonctions dans un corps. Corps algébriques.
Adjonction simultanée de plusieurs grandeurs algébriques. Corps primitifs et
imprimitifs. Corps normal. Résolvante de Galois. Substitutions d'un corps
normal. Composition des substitutions. Groupes de permutations. Groupe Se
Galois. Groupes transitifs et intransitifs. Groupes primitifs et imprimitifs.
— Chap. XIV. Application des groupes de permutations aux équations.
Transformation de fonctions de variables indépendantes par un groupe de
permutations. Décomposition des permutations en transpositions et en cycles.
Diviseurs d'un groupe; parties associées. Groupes conjugués. Réduction delà
résolvante de Galois par l'adjonction des diviseurs normaux d'un groupe. Le
groupe de la résolvante. Réduction du groupe de Galois par l'adjonction d'ir-
rationnelles arbitraires. Groupes imprimitifs. — Chap. XV. Equations cy-
cliques. Equations du troisième degré. Groupe de permutations de quatre
éléments. Résolution de l'équation du quatrième desjré. Equations abéliennes.
Réduction des équations abéliennes aux équations cycliques. Résolvantes de
Lagrange. Résolution des équations cycliques. Division d'un angle en parties
égales. — Chap. XVI Division du cercle en parties égales. Irréductibilité
de l'équation de division. Les périodes el les équations aux périodes. Méthode
de Gauss pour le calcul des résolvantes. Réduction de l'équation de division
à une équation binôme. Propriétés des nombres ^. Sommes de Gauss. Les
périodes à — - — et — -. — termes. Les nombres complexes de Gauss. Le corps
des racines cubiques de l'unité. — Chap. XVII. Résolution algébrique des
équations. Réduction du groupe par une équation binôme. Equations métacy-
cliques. Simplicité du groupe alternant. Equations non métarycliqucs dans le
corps des nombres rationnels. Résolution par radicaux réels. Équations méta-
cycliques de degré premier. Application aux équations métacycliques du
cinquième degré. Le groupe de la résolvante. — Chap. XVIII. Racines des
équations métacycliques. Position du problème. Théorème auxiliaire. Théo-
rèmes relatifs aux résolvantes. Racines des équations métacycliques. Dispa-
rition des hypothèses restrictives. Réalité. Equations métacycliques du cin-
quième degré.
28059 Paris. — Imprimerie GAUTI1IER-VILLARS, quai des Grands-Auguatius, 55.
DE CALCUL DIFFÉRENTIKL. 404
7. Eliminer les fonctions logarithmique et circulaire de
l'équation
y B= sin (log x).
On obtient
8. Éliminer les quantités exponentielles de l'équation
y =
e' — e~*
Multipliant haut et bas par ^ et tirant de Téquation
résultante la valeur de e*% puis celle de ^Ix en passant aux
logarithmes, on arrive à une équation qui, dérivée, fournit
9. Eliminer les fonctions exponentielle et circulaire de
l'équation
y es ac"»« sin nx.
L'élimination faite, on a
10. Éliminer a, 6, c, e et la fonction circulaire de Téqua-
tien
y^^a^-^-be ' + c sin (x + m).
En dérivant quatre fois successivement, on trouve
11. Éliminer cp de Téqualion
y — b (x — a^
=f
z — c
On obtient
p(x ~ a) + (jf(f/ — 6) = z — c,
équation différentielle des surfaces coniques.
402 EXERCICES MÉTHODIQUES
12. Éliminer (f de l'équation
Le résultat, équation différentielle des surfaces de r
lution, est
py — qx = 0.
13. Eliminer (f de Téquation
z
L'élimination fournit
-(^)-
dz , . ^ dz
14. Eliminer cp de l'équation
\x — mzl
On trouve
p[x — mz) -f- qf(y — nz) = 0,
équation différentielle des surfaces conoïdes.
15. Éliminer 'f de l'équation
\
z =
On trouve
dz dz
dy dx
16. Éliminer cp de l'équation
L'élimination donne
dz dz
yz -z- + xz ■- XV = 0.
^ dy^ dx ^
17. Éliminer <p et 4» de l'équation
z =- •
^{x — ay)
DE CALCUL DIFFÉRKINTIEL. i(ï^i
On obtient
q^ + ri-- a\p* + rz) = 0.
18. Eliminer cp^, cp^, (pj de Téquation
u = fi{x^ — jy*) fi (t/* — z*) ^s(z* — x*j.
Le résultat de réiimination est
du du du
t/z —- + zx -7- + xy -— =s 0.
^ dx^ dy ^ dz
19. Eliminer cp et <j; de Féquation
z = f (x + ay) + }{x — ay).
On trouve
d'z . d^z
df-'d?-""'
20. Eliminer cp et tp de l'équation
Il vient
dz dz
C'est l'équation différentielle des fonctions homogènes
du n*"* degré,
îl. Éliminer cp et tj^ de l'équation
z=^Xf(xy) + y^{xy).
On trouve
iy* + rx' — 2«xt/ + 7i/ + px « z.
21 Éliminer <p et <p de l'équation
jj = y(a^ -{- 6x) ^(ay — 6x).
Prenant les logarithmes, il vient
log z = log f [ay 4- 6x) + log <p (ay — bx).
Les fonctions f et 4* étant arbitraires, leurs logarithmes
m EXERCICES MÉTHODIQUES
le sont aussi ; on peut donc poser, F et /* représentai
fonctions arbitraires,
log f («y + 6x) = F(ai/ + 6x) ,
log ^ (ay — 6x) = /"(ay — 6x).
Jogz = F(ay -|- 6x) + f(ay — bx).
Eliminant F et /; on obtient
„.(r_lp.)_6«(r_i,*) = o.
23. Éliminer cp, tp et 'y^ de l'équation
sachant que u est une fonction Aq x^y\ Qiz donné
réquation
On obtient
r/ — 6^ = 0,
équation des surfaces développables.
CHAPITRE XI.
DÉTERMINATION DES FONCTIONS QUI, POUR CERTAINES VA]
DE LA VARIABLE, DEVIENNENT INDÉTERMINÉES.
Soit F(x)
une fraction dont les termes sont des fonctions de x.
Quand, pour x = x^, cette fraction devient ^ ou g^, sa
valeur est
c'est-à-dire le quotient des dérivées des deux fond
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 405
après que dans ce quotient on a remplacé x par Xq. Si F' (x^)
^^['{Xq) sont nulles ou infinies, la vraie valeur est
si F"(j:o) et f (Xo) sont encore nulles ou infinies, cette
valeur est
et ainsi de suite.
La méthode est en défaut quand, pour x = Xc^ toutes
les dérivées de ¥{x) et def{x) deviennent nulles ou infi-
nies. Dans ce cas d'exception, après avoir remplacé x par
Xo'\- h dans la fraction ~^, on développe haut et bas, puis,
dans le quotient simplifié, on fait A =» 0. Le résultat est la
valeur cherchée.
D'autres systèmes de fonctions se présentant sous d'au-
tres formes indéterminées, pour certaines valeurs de la
variable qu'elles renferment, peuvent s'écrire de manière
que, pour x = Xq, ils soient ramenés à l'une des formes
Q,§. La vraie valeur se détermine alors de la même ma-
nière.
Ainsi, soit ¥{x). f(x) un système tel que, pour x = o^o,
F (a;) devienne infinie et f{x) nulle, ce qui donne un pro-
duit de la forme oo X 0. On a
F(ar) . f(x) == — = -p ,
f(x) F(x)
et ces deux dernières formes du produit proposé deviennent
^et^ quand x=^Xq^ Donc détermination de la vraie valeur
comme précédemment.
Ainsi encore, soit F {x) — f{x) une expression qui,
pour X =^ Xo, donne oo — oo . Posant
406 EXERCICES MI^THODIQUKS
Fi(x) et fi{x) étant des fonctions qui deviennent nulles
pour j: = :ro, on a
^ ^ '^ ^ F.(x) /;(x) F,(x)/;(x)
et l'expression finale devient ^ pour x = aro.
Enfin, quand une expression de la forme F{x)^'^ devient
0", 00°, 1", etc., pour certaine valeur de x, il suffit de
prendre le logarithme de l'expression et d'en chercher la
vraie valeur v; e'' sera celle de F {x)^'\
Exemple I.
Soit la fraction
X* — 8x' + 22x* — 24X + 9
X* — 4x»— î2x* + I2X+9
qui, pour x = 3, devient ^
I^a dérivée du numérateur sur celle du dénominateur est
4x' — 24x* 4- V4x — -24
4x*— 12x*— 4x +12
ou x'— 6x'+Mx— 6
X* — 3x* — X + 3
et ce quotient devient encore -^ pour x = 3.
Dérivant de nouveau haut et bas, on obtient
3x*— I2x + ll
3x* — 6x — 1
quotient qui, pour x = 3, devient y C'est la vraie valeur de
la fraction proposée pour x = 3.
Kzomple II.
Supposons que l'on demande la vraie valeur de
(x — a)""
j-, pour x=a,
(x*— ay
sachant d'ailleurs que m et n sont des nombres entiers posi-
tifs et m < n.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL
i07
Iljfest facile de voir que, pour x =^ a, la fraction pro-
posée devient ^ et les rapports des dérivées des deux termes
tous infinis. Posant donc x ^^ a -\- h dans la fraction, elle
devient
A"
1
h"'
n -m
[(tt + hf — à^f A" (2a + hf (2a + hf
et, pour A =» 0, donne 0. La vraie valeur de la fraction pro-
posée, pour X «a a, est donc nulle.
Exemple III.
Soit à chercher la vraie valeur de
ii"^) '*"S^» P°"^ ^"=^
Pour cette valeur particulière de x^ l'expression proposée
devient X oo ; mais en l'écrivant sous la forme
n n
X X
2 2
i
cotgx
tangx
elle devient g pour la même valeur particulière.
Le quotient des dérivées des deux termes est
sa sin* X = i , quand x ■=* -
1 ^ 2
sin^x
La vraie valeur cherchée est donc 1.
Si l'on avait écrit l'expression sous la forme
tangx
X
2
elle fut devenue § pour x=^^.
i06 EXERCICES MÉTHODIQUES
et le rapport des dérivées des deux termes eût été
cos'x \2 /
i cos'flc 2
(i-r
Or, la vraie valeur de -^^^ , fraction qui, pour x ^j,
devient aussi j: , est égale au rapport des dérivées des deux
termes de ^^ dans lequel on aurait remplacé x par j,
c'est-à-dire à
sin-
Donc la vraie valeur de
X X
2 2
X = i XI =i.
COS X COS X
Exemple l¥«
Vraie valeur de (1 -\- mxf pour x — 0.
(\ -f- mxj' devient, pour x = 0, 1*.
Mais , , . , •- log (\ + mx)
X
expression qui, pour x =» 0, donne ^.
Le quotient des dérivées des deux termes de la dernière
fraction est d'ailleurs . [" ^ et devient m pour x « 0.
Donc la vraie valeur de log (4 -|- mx)' = m.
Et, par suite, celle de (1 + ^^^Y = ^'^
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. i09
Aape**e#ee«b
. oc'^— 5a* + 7rr — 5
La vraie valeur est -
4
a;' — 3a*x — 2a' '^
La vraie valeur est —
9
i + sin a? — cos x
5. 7— ï — : , pour X = 0.
1 -j- sin px — cos px
La vraie valeur est--
P
sin X — cos X ir
*• -r-^ ^; r » pour x = - •
sin 2x — cos 2x — 1 4
La vraie valeur est - I/2.
2
i -- 6x' + 5x* 1
^- rriïTirs^.Pourx-zfc— .
2
La vraie valeur est —
5
cotg X + coséc X — i ir
0. — —-. pour X =a - •
cotg X — coséc X + 1 2
La vraie valeur est 1.
taug X — sin x
7. r-i , pour X = 0.
sin^ X
La vraie valeur est--
2
a Vax — x'
8. -—^ , pour Xmma.
a — Vax
La vraie valeur est 3a.
ilO EXERCICES MÉTHODIQUES
V/a« + ox + a* — I/o* — ax -j- a*
9. — ■ , pour X = 0.
Va-Çx — I/o — X
La vraie valeur est I/o!
a**«'— X
iO. — ,poupx = <.
logx
La vraie valeur est — 1 -f- log o.
arcco8(1 — x)
iU - , pour X = 0.
l/2x — X*
La vraie valeur est 1.
xe** — e*' — X -f- 1
La vraie valeur est — 1.
12. 5; ; ,pourx = 0.
^* g-*
13. -,pourx==0.
La vraie valeur est 2.
cos ax — cos an
14. ; ,pourx=3«.
nr — X*
a sin an
La vraie valeur est
'sin mx\
sin
On trouve m* pour vraie valeur.
15. 1 , pour X <= 0, m étant un nombre entier.
linx /
i — cos X
^^' —i — 7r~i — :,Pourx-=0.
X log (i -f- x)
On obtient- pour vraie valeur.
g— — e»'»
17. ,pourx==a.
(x — o)" ^
m'e*""
Au moyen de n dérivations, on parvient à pou
vraie valeur.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 114
i8. La somme de la série
rr -f- 2a;* + 5a:' -| f- nx"
est jr — (» -|- 4 ) x^^' + «x"+*
quelle est la valeur de cette somme quand x =^it
On obtient , somme des nombres naturels.
or-t-a:* — (2/1 + 1 )a:«»+'-{- (2/1 — i)x''-*--
«9. ^^—^, ,pourx = l.
La vraie valeur est n*.
20. La série
x + Ax* + 9»' H [- wV
a pour somme
X -I- a* — (n 4- < )• x"+' + (2n*+ 2/i — 1) a;"+«— nV"^
(1 — ocf ""•
quelle est la valeur de cette somme pour x = \t
La valeur cherchée est
/i(M + 1)(2w + i)
— ^^-^^^^^^^^— ^^^■^— — — »
6
somme des carrés des nombres naturels.
^ a' — iax* + 7a'x — 2a' — 2a* Vlax — a^
2L , pour X sa a.
a* — 2ax — a* + 2a l/2ax — x*
En ayant recours à quatre dérivations successives, on
trouve que la vraie valeur est — 5a. (Euler.)
s
(x* + o«) f X* — a»)»
22. ^ ^ ^ ^ , pour X = a.
(3x» — a»x) (x' — c?Y
Remplaçant x par a -\- h (exemple II), on trouve pour
vraie valeur
21/2
3a* 1/3^
il'2 EXERCICES MÉTHODIQUES
î23. j ; , pour X = a.
(a — x)'« + (a' — ac'j»
Remplaçant x par a — A et suivant le procédé indiqué,
on obtient pour la vraie valeur
1 +0I/3
24. j ;^,pourx = a.
(a —4:)» — (a*— x'j»
Remplaçant or par a — /?, on trouve que la vraie valeur est
tangirx — nX
25. — ^ ,poura==0.
zx^ tang irx
Posant X = + /?, développant par la formule trouvée
(exercice 5, chapitre VI, section II), puis faisant A = 0,
7r«
on trouve pour vraie valeur—-
26. z — 1 PO"'' X = i .
1 — x»" ^
L'expression proposée peut s'écrire
x*" 1 —X*
i + XP * 1 — x"
et, pour X = 1, le premier facteur devient | et le second, §•
La vraie valeur de ce second facteur est ~ et par conséquent
celle de l'expression donnée, ^•
cos ax — cos an
27. — —- , pourx = w.
Cette expression peut se mettre sous la forme
i cos ax — cos an
m
(n + x)*" (n — x)"
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 443
et, pour a: = n, le premier facteur est-j^—^; le second, ^.
Au moyen de m dérivations, on trouve que la vraie valeur
de ce second facteur est
a*" ces [an -f-~mjrl
(— ir t: — - —
^ ^ 4. 2. 3... m
et, par suite, celle de l'expression proposée,
28. — , pour X = 00 .
Après avoir dérivé m fois, on trouve pour vraie valeur
i . 2 . 5 ...m
«*" cos
= 0.
î9. , pour X = Qo
x^
La vraie valeur est 0.
30.
/ 2x\ n
). Il 1 langx, pour x = -
2
Forme de Tindélermination, X oo ; vraie valeur, - •
,, , ïtX , \
31. sec — log - , pour x = 1 .
2 X
2
Forme de l'indétermination, oo x 0; vraie valeur, -•
a
32. 2' sin — , pour x == oo .
z
Forme de l'indétermination, oo x 0. La vraie valeur est a.
,_ .y-r ir (a X\«
53. K a* — X* colg - I — ; — 1 , pour x= a.
2 \a -f- xj
8
il4 EXERCICES MÉTHODIQUES
L'expression proposée donne d'abord X oo , mais on
peut l'écrire
TT • /a — X
+ x 2
lanff - \/
Pour X = a, la limite du premier facteur est 1 ; la valeur
du second, -. La vraie valeur est donc aussi — .
X 4
34. ,pourx=1.
X — 1 log X
L'expression, pour x «=. 1, devient oo — oo, mais en
réduisant au même dénominateur, ce qui donne
X log X — X -f- ^
(x — 1 ) log X
elle devient ^ , et fournit -^ pour vraie valeur.
35. La somme de la série
i' + x* ' 2* + x* ' 3* + x'
est TTX — \ n
2x* ' x(e*^'— i)'
quelle est la valeur de cette somme pour x = 0?
Pour X = 0, l'expression devient oo — oo .
En opérant comme dans l'exercice précédent, on trouve
que la vraie valeur est -g-» somme des réciproques des car-
rés des nombres naturels. (Euler.)
36. T , pour X = 0.
4x 2x(e^'+l)'^
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. H5
C'est la somme de la série
1 1 \
Pour a: = 0, l'expression devient oc — oo , mais, en opë-
rant comme dans l'exercice 34, on trouve pour vraie valeiir
~-, somme des réciproques des carrés des nombres impairs.
(Euler.)
57. y , pourx = 0.
Forme de l'indétermination, oo°.
On a logl~l = — nx'"\o^x = — n— ^— >
x^
expression dont la vraie valeur, pour ^ = 0, est 0.
/ I N^"
Donc ( — 1 , pour a: = 0, est 6°= 1.
n
38. cos oc'*' ', pour x = - •
Forme de l'indétermination, 0".
En employant les logarithmes, on trouve 1 pour vraie
valeur.
39. tang x**"*'*, pour x «= - •
4
Forme de l'indétermination, 1".
i
Vraie valeur, - •
e
40., Vraies valeurs du ^, pour x = et î/ = 0, dans
l'équation
!/* — aY + 2a'x' — X* = 0.
Valeurs cherchées, dz 1/2.
146 EXERCICES MÉTHODIQUES
41. Vraies valeurs du ^ tiré de l'équation
(y*+ axf -= x*(à'+ 2ax — x'), quand x « et y «= O.
Valeurs cherchées, ± 1.
CHAPITRE X.
MAXIMA ET MINIMA.
Section I. — Fonctions explicites d'une seule variable
indépendante.
Soit 1/ «= F (x) une fonction explicite de x.
Toute racine réelle de l'équation F (x) «= 0, à moins que
cette racine n'annulle F"(x), est une valeur de x corres-
pondante à un maximum ou à un minimum de y : à uu
maximum quand, pour la valeur de x trouvée, F"(x) est <0;
à un minimum quand, pour la même valeur, F"(x) est > 0.
Dans le cas où F" (x) = 0, il n'y a maximum ou mini-
mum que si, pour la valeur de x trouvée, F"'(^) =0
et que, pour la même valeur, on n'ait pas F"(a;)=»0.
Maximum, si l'on trouve F'^tx) < 0; minimum, si Ton
obtient F" (x) > 0.
Et ainsi de suite.
Cette règle générale suppose la continuité de F {x) et de
ses dérivées dans le voisinage de la valeur de (x) fournie par
réquation F' (x) = 0.
Les cas d'exception sont peu importants dans les appli-
cations.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. i17
Exemple.
y ^=zx^ — ax* + 6.
F(x)==x* — ttx* + 6.
dérivant deux fois de suite,
V {x) = 5x* — ^ax\
F"(x)=!20a'— 12ax*.
3ines de Téquation F' (x) = ou de x^ i^x — 4a) =
4a
— et 0.
5
bstituant -^ dans l'expression de F" (j:), on trouve
64
25
racine correspond donc à un minimum de y.
a^
nimum
est 7 = — - — •
•^ 5 \ 5 /
à la racine 0, elle annulle l'expression de F" (a;),
dérivation fournit
F'"(x) = 60x» — 24ox,
F" (x) = i20x— 24a,
voit que, pour a; = 0, F"' (x) = 0, tandis que
= — 24a. La racine correspond donc à un maxi-
j y. Ce maximum est y = b.
= a;^„j2x* + 45x + 30.
Pour X = 5, y est minimum ;
pour X = 3, maximum.
= x"" — 75x' + \ 620x — \ ()00.
Pour X = 6, iy est minimum;
pour X = — 6, maximum ;
pour X = 5, maximum ;
pour X = — 3 , minimum.
ii8 EXERCICES MÉTHODIQUES
3. y=iOx*— 12x» + i5x* — 20x' + 20.
Pour ac = 1 , y == 13, minimum.
Pour X = 0, ni maximum, ni minimum.
^' y
(\+xY
Pour X =3 3, y est minimum.
x« — 3x + 2
^ X» + 3x + 2
Pour X ==1/2, t/= 121/2 — 17, minimum.
Pour x«= — 1/2, y = — 12\/2 — 17, maximum.
a ^ X
^ a*+ x«
Dérivant, on a
dy o* — 2ax — x*
rfx "" (a* + x')* '
Pour que cette dérivée soit nulle, il faut donc que
a* — 2ax — x* = 0,
équation dont les racines sont
x' =-(-a(l/2 — 1),
x"= — a;^l/2 + l).
Pour savoir si chacune des racines correspond à U
maximum ou à un minimum, il suffit de dériver le nuni<
rateur de ^, car le dénominateur, toujours positif, n'ii
fluera pas sur le signe de la dérivée seconde.
Or c/ . (o* — 2ax — x*)
— î^ : « _ 2o — 2x.
dx
En substituant les valeurs de x' et de x" dans ce résulta
on voit facilement que
pour x' ==0^1/2 — 1j, y est maximum;
pour x" «= — ai 1/2 -j- l\ minimum.
y
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 419
En opérant comme dans Texercice précédent, on trouve
e
pour X = 1 , 3/ = 2 est maximum ;
pour x = — i,y = — 2, minimum.
x^ — X
^ a;* — x' + 1
La remarque faite dans l'exercice 6 peut encore s'appli-
ler et l'on trouve
1 zhl/ÏÏ 1
pour X == , y = -j maximum ;
— 1 ±1/5 i
pour X = 2 * y^^ — â ' ^i'ïi™"™-
(a+x) (h + x)
^ (a — x) (6 — X)
Pourx = Ka6, y = — -— , minimum;
\\/a—i/bJ
pour x=— K ao,t/= — — — , maximum.
}. t/ = ('x« — \^ Tx» 'l\
En posant x* == Zj on trouve
pour z = 0, t/ = i , maximum ;
z B=» 4 ^ t/ = 0, minimum.
1. y=zxvax — X*.
3a 31/3 ,
Pour X = — ♦ V = a\ maximum.
8. y = ifc X \/ (Strophoide.)
^ a — X
1/5— 1
Pour X = — o — , y esl maximum.
Je
I
iSO EXERCICES MÉTHODIQUES
[/(1 4- x) + 2a l/ï + |/(l + x) — 2o l/x
iô, y =
V{\ +ir) + 2al/^+|/(l +x) — 2al/x
.a
Pour X «= K y = , minimum.
X
logx
Pour X = c, y = e, minimum.
^*^. y=—
sin*mx
sin*x
Les valeurs de x fournies par TëquatloQ sin il' «
rendent y maximum et égal à nfi ; celles fournies par
l'équation sin mx » rendent y minimum et celles données
par l'équation m tang x = tang mx rendent y maximum.
16. y=-.
sin (x — a)
Pour X == a -|- - » y = l/2 . e"**" S minimum ;
pour x = a-| 'y = — V^. e *, maximum.
4
47. y = sin X cos (a — x).
a , TT 1 -{- sin a
Pour X = — |- 7 > y = , maximum ;
2 4 * 2
a n i — sin a
pour x = » v = » mmimum.
*^ 2 4^ 2
\S. y=:a'+* — a' — X.
logRa — 1)loga]
Pour X = — , y est maximum ou niini'
logtt
mum selon que a est < ou > 1 .
i9. y == tang"* X . tang" (a — x).
Pour tang (a — 2x) « — ; — tang a, y est maximum.
n -j-m
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 421
20. Trouver le nombre x dont la racine a:"'"* est un
maximum.
On aura à chercher le maximum de y = x* ; on trouve
facilement que pour x = e,y'==e' , maximum.
21. Une droite et une parallèle à cette droite étant
données, trouver sur la parallèle un point tel que les
droites menées de ce point aux extrémités de la droite
donnée fassent entre elles un angle maximum.
Soient B et C les extrémités de la droite donnée (*); A le
point cherché pris sur une parallèle à cette droite. Joignons
le point A aux points B et C et, de A, menons sur BC la
perpendiculaire AD. En posant BC = 6, AD =« A, BD = x,
CD trouve que la tangente de Tangle BAC a pour expression
bh
A* — 6x -f- X*
dont le maximum correspond à a: «« ^ .
22. Les côtés égaux et Tune des bases d'un trapèze
isocèle étant donnés, déterminer l'autre base de sorte que
l'aire du trapèze soit maximum.
Soient ABCD un trapèze; AB la plus grande des bases,
DC l'autre, AD l'un des côtés égaux. Si, du point D, on
mène DP perpendiculaire sur AB et que l'on pose
DC = a, AD==BC = 6, AP=x,
on trouve que l'expression de la surface du trapèze est
(o + x) 1/6* — X*
dont le maximum correspond à
a Va" + 86*
(*) Le lecteur est prié de constiiiire une figure d'après les indications données
et d'agir de même dans les autres problèmes du recueil.
iâ4 EXERCICES MÉTHODIQUES
27. Trouver la plus petite ellipse que Ton puisse cir-
conscrire à un trapèze donné.
Soient 2a et 2a' les côtés parallèles du trapèze, ia le
plus petit; iy et 2t/' deux diamètres conjugués de l'ellipse,
faisant entre eux Tangle ; le premier, mené par les milieux
des côtés 2a et 2a'. Enfin, soient c la portion du diamètre 2j/
comprise entre les côtés parallèles du trapèze et x la partie
comprise entre le centre de Tellipse et le côté 2a.
On aura
a» = -^^ [t/ - X*) , a'* = ^ [/ - (c - X)*].
Et, en posant a'* — a* y'
«e et — -=s,
c y»
X =
.!/
2
, 1/ c* + c*z* + 2 (4a* + !2ec)
M ==:
2l/z
L'expression de la surface de l'ellipse est - sin 8 yy\ ou
en substituant les valeurs de y et de y\
TTsind c* + eV + z(4a* + 2ec)
Pour _ [2 l/a'*— a'V + a*- (a'*+ o*)] c»
^ 3(a'* — tt'j»
ou pour [a" — 2a* + l/a'* — a'V + a*] c
5 (a'* — a*)
le minimum de la surface est
27rc sin d I a'*— 4 a'V + a*+ (a'*+ a*) l/a'*— a'V-fa*J
_ — - ■ ■ •
5 V/5(a" — a* |/2 l/a* - a'V + a* — (a'* -|- a")
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. i2S
Si a! = a, le trapèze devient un parallélogramme et
xpression de la surface devient ^. Dans ce cas, il faut
lercher la vraie valeur : on trouve Tiac sin 6. (Bossut).
Section II. — Fonctions implicites d'une seule variable
indépendante.
Soit y une fonction implicite de x déterminée par Téqua-
)n F(x, i/) = 0.
L'équation ^==0 fournira, simultanément avec la pro-
)sée, les valeurs de x qui correspondent aux maxima et
IX minima, et aussi ces maxima et ces minima eux-mêmes.
d*F
La substitution dans l'expression ^ de chaque couple
j valeurs trouvées pour x et y, déterminera un maximum
i un minimum de y, selon que le résultat de l'opération
ra positif ou négatif.
Cette règle, pour être complète, doit recevoir des déve-
ppements et des restrictions analogues à ceux qui ont été
diqués dans le cas des fonctions explicites.
tâxemple.
Soit F(x,y) = î/'--3x»^ + a:' — 3 = . . . (i).
En égalant à la dérivée de F par rapport à x, on a
— ==3x* — 6xi/=0 (2).
X
Or, de (2), on tire x = et y = --
En substituant la première de ces valeurs dans (1), on
tient
i% EXERCICES MÉTHODIQUES
En substituant la seconde valeur, on trouve
x» + 8 = 0,
d'où X = — 2 et, par suite, t/ = — i.
Ainsi, deux couples de valeurs satisfaisant aux équa-
tions (1) et (2)
x = 0, I x= — 2,
D'ailleurs, on trouve que
(PF
1q^ 6x — 6t/ 2
rfF 3!/' — 5x« t/ + X
Substituant le premier couple de valeurs dans cette ex-
pression, le résultat est — —, Donc, pour x=0, î/ = l/ 5
est minimum. ^
Substituant le second couple, le résultat est +|. Donc,
pour X = — 2, y = — 1 est maximum.
\, 1/' — x'y + ^ — x^ = 0.
Pour X = — 1 s 2/ = ' 5 maximum.
2. y' + 2x*i/ + 4x — 5 =- 0.
\
Pour X = > f/ = 2, maximum ;
pour X ■= i , 1/ = — 1, ni maximum, ni minimum,
3. t/* — 2mxt/ + X* — tt' «= 0.
am a
Pour X = — n= ' y = 9 maximum.
l/j — m* l/i —m*
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 127
+ y^ — a'x = 0.
a
*OUP X =
1/5
7 2
yz=a\/ zTî maximum;
V 51/3
y
1/3 V ;
2
)oiir X = :i» !/ = — a \ / z ^ minimum,
3\/3
^ + y' — 5axt/ = 0. (Folium de Descartes.)
Pour X = ^^a, y = 4'a, maximum ;
|)ourx==0, y = 0, minimum.
ne peut déterminer ce dernier minimum par le pro-
ndiqué plus haut, car de Téquation proposée on tire
^-tEt^' dérivée qui, pour a; = et j/ = 0, devient ^
suite fournit ^=-^ . Mais les dérivées deuxième et
ime de l'équation du folium sont respectivement :
d'à MijY du
'dx^^ \^dx Idx^^ \dxl ^
faisant x = 0, i/ = dans ces équations, la première
t ^«= et, par suite, la deuxième donne ^=3^-
pour X = 0y y = est bien un minimum.
— 2a*x* + a'y* — 8a* = 0.
Pour X = 0, y = +2al/2, minimum;
pourx = 0, y = — 2a V/2, maximum ;
pour x = + ^> y = + 3a, maximum ;
pouvx = -\-a^ y = — 3a, minimum;
pour X = — rt, î/ = -f-3a, maximum;
pour x = — a, y = — 5a, minimum.
dS8 EXERCICES MÉTHODIQUES
7. y* — Aa^xy + x* = 0.
Pour ac =» o l5^, y = a l?^^, maximum ;
poiirx== — al?^3, y = — 1/27, minimum.
8. y — 4x1/ + x* + 2 = 0.
Pour X =» 4" ^ > y = + ^ » "* maximum, ni miniroom;
pour X «s — l»y = — 1, id. i(i.
On procédera selon la remarque faite dans l'exercice 5.
9. cos {y — x) — 2 sin y — cos x = 0.
Pour X = - » y = — > maximum.
6 3
i 0. y' 4" wixy + a* -|- 6x + wx* =« 0.
26/1 + m 1/6*/* + (m* — 4/i) o*n
Pour X = ! —
— »
n(m'* — 4/1)
on trouve
— bm — 2 l/6*/î + (m* — An)a^n
y a=s *— '. , maximum;
m* — An
26/1 — m \/bht + (/n* — 4/i) a*/»
et pour X =
n (m' — An)
on obtient
— 6m + 2 l/6*/i + (w* — An) à'n _,_,
Si m = ,
y = ; , minimum.
nr — An
6 1 ,/-
pour x = , on obtient i/ = H k 6*ii— 4a*n\ maximi
*^ 2/1 -^ ^2/1
1 ./
et y = Vb*n—Aà*n% rainimi
2/i
Si w = 0, X = 30 et y = , ni maximum, ni minimi
Si /n*=4w. pourx = — - — , y = — , minimi
bm* -^ 26/n
(Euler.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 129
Section III. — Fonctions de plusieurs variables
indépendantes.
Soii z une fonction explicite de x et de y.
Les racines réelles des équations
dz dz
dx * dy
seront les valeurs de x et de t/ correspondant aux maxima
et aux minima de z si, pour chaque couple de ces valeurs,
rinégalitc suivante est satisfaite :
I d^z y (Pz^ d^
[dxdyl "^d^df ^*^^
ce qui exige que ^^ ^^ 5^ soient de même signe. Du reste,
maximum, si ces deux dérivées sont négatives; minimum,
si elles sont positives.
Si les valeurs de x et de j/, fournies par les équations
:7^«=0 et 4^ = 0, rendaient nulles les trois dérivées de
aœ ay '
deuxième ordre, il n'y aurait ni maximum, ni minimum ;
à moins que ces valeurs n'annulent aussi les dérivées du
troisième ordre, sans annuler celles du quatrième qui
devraient avoir le même signe, etc.
Soit u une fonction explicite de x^ de y et de z.
Les racines réelles des équations
du du du
dx ^ dy ' dz
seront les valeurs de x^ y, z correspondant aux maxima et
aux minima de m, si, pour chaque groupe de ces valeurs,
la condition suivante est satisfaite :
d!*u d^u d*u Y
y rd'ud^u f d^u yUd^ud^u I d^u \M
/ ^ \l?df\d^j)]ld?^^
i ds^ dxdy dxdzi
9
430 EXERCICbS MÉTHODIQUES
d'il d*u . d^u «Al A • ■>
ce qui exige que jj,»;^ el-^ soient de même signe. Du
reste, maximum, si ces trois dérivées sont négatives; mini-
mum, si elles sont positives.
Si les valeurs de x, y, z fournies par les équations ^ » 0,
^ = el :;^ = annulaient les six dérivées du deuxième
ay us
ordre, etc. Comme plus haut.
Soit z une fonction implicite de x et y, déterminée par
réquation
Les équations ^ = et ^ = fourniront, simultané-
ment avec la proposée, les valeurs de x et y qui correspon-
dent aux maxima et aux minima de z, et aussi ces maxima
et ces minima eux-mêmes.
La substitution de chaque groupe de valeurs trouvées
pour X, y et z dans les expressions
rf*F d*F
d*F
dx* dxdy
"^dF
dz dz dz
détermine un maximum ou un minimum de 2 si l'inégalité
jd^F y d*F fi*F
dxdy
\-drl
< îî^.^* (5]
dF dF
dz dz
est satisfaite, ce qui exige que
d*F d*F
dx* dy*
dF ^ lÏF
dz dz
soient de même signe. D'ailleurs, maximum, si ces deux
expressions sont positives ; minimum, si elles sont négatives.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. iSi
Règles analogues pour les fonctions implicites de plus de
deux variables indépendantes.
Les règles précédentes supposent la continuité des fonc-
tions et de leurs dérivées dans le voisinage des valeurs des
variables correspondant aux maxima et aux minima. D'ail-
leurs, dans la pratique, il n'est guère besoin de considérer
les fonctions de plus de trois variables indépendantes.
Rxemplo I.
Soit z = x' + t/* — dxy + 27.
On a rfa ^ , ^ dz . ^
— = Sac'* — 9t/ et -— = 5v — 9x.
dx ^ ^t/
En égalant à ces dérivées, les équations résultantes
sont satisfaites par les couples de valeurs
! et <
On a aussi
dh __ rf*z d*z
dx* ' dxdy ' dy*
La substitution du premier couple de valeurs donne
d'z _ d'z ^ d'z
dx* ' dxdy ' dy*
et il est évident que, pour ces résultats, l'inégalité (1) n'est
point satisfaite. Donc, pour x = et î/ = 0, z == 27 n'est ni
un maximum, ni un minimum.
La substitution du deuxième couple de valeurs fournit
d*z _ d*z d*£ __
dx* ' dxdy ' dy*
et il est aisé de voir que, pour ces résultats, l'inégalité (1)
est satisfaite. Du reste, j^ et ^ étant positives, ;? «== est
minimum pour x = 5 et j/ == 5.
i3â EXERCICES MÉTHODIQUES
Exemple ll«
Soit w -= ary V(a — x— y — z).
On a ^" * ,. .
— = xyz\''2a — 2x — 3y — ^z),
dy
du
— = xyV(3a — DX — 5y — 4ar).
En égalant à ces trois dérivées et ne tenant pas compte
des solutions a: = 0, 1/ = 0, 2 = 0, pour lesquelles w =
n'est évidemment ni un maximum, ni un minimum, on
trouve
a 2a 5a
1^1 7
D'ailleurs, on obtient immédiatement
Posant xyz^ = v et 2a — 2x — 3t/ — 2z = w),
on a c/w „ c/*a rfu? rft?
ou plutôt, puisque w est nul pour les valeurs de x, j/, 2 :
d^u dtv
dy* dy
ou d^u ^ -
De la même manière, on trouve facilement que
-— = — ixt/'z*. = — vV, -7—- = — 2at/^% -7-1- = — 01
c/^* -^ ' dxdy -^ f/î/t/z ^ dzdx
Substituant les valeurs des six dérivées de deuxième
DE CALCUL DIFFÉRENTIKL. i33
ordre dans l'inégalité (2) et divisant les deux membres par
x}jV\ on trouve
x{Az — 3t/)* < y (6x — y) (Sz — 9x)
et il est facile de s'assurer que, pour a; = ^,î/— «yet;s = Y,
cette inégalité est satisfaite.
Du reste, puisque les dérivées ^, 575 et ^^ sont négatives,
u = 108 (^) est maximum.
Il y a souvent avantage, comme dans cet exemple, à
vérifier l'inégalité (2) après y avoir substitué les valeurs
générales des dérivées du deuxième ordre ; les calculs sont
plus simples.
Exemple III.
Soit F (x, y, z) = z^ + xyz — xy* — at' = 0.
En égalant à les dérivées de F par rapport à a: et à y, on a
_=y.-y.-5x^»0,
dF
dy ^
Les trois équations précédentes sont satisfaites (en ne
tenant pas compte des solutions x = 0, y « 0, ;s = 0) par
les groupes de valeurs
x = — 6, [ x = — 6,
z = 12l/3, ( z =—121/3.
D'autre part,
d^ ri*F C^F
dx* 6x dxdy z — 2t/ dy* 2x
rfF 2z + xy dF "^z-^-xy dF ^2z + xy
dz dz dz
134 EXERCICES MËTHODIO^ES
La substitution, dans ces expressions, du premier groupe
de valeurs, donne
#rF d^F d*F
dx* y^ dxdy dy* I
TÏf"""" ^' d¥ ^^' rff ""j/l*
dz dz dz
Pour ces résultats, rinégalité (5) est visiblement satis-
faite, et puisque
d*F d*F
dx* dy*
— et -^
</F d?
dz dz
sont négatives, 2 = 12 1/5 est minimum pour x = — 6 et
La substitution du second groupe de valeurs fournit
d*F ie¥ d*F
dx* . , ^^— (ixrfi/ c/t/" 1
rfF ^^ ' _dF_ ' _^ ^1/3
L'inégalité (5) est donc encore satisfaite et, puisque
rf*F d*F
dx* di?
— et -^
rfF dF
dz dz
sont positives, z = — 12 1^3 est maximum pour x = — 6
et ^ = —61/3.
4 . ^ = X* — xy + y* — ày.
Pour x=1 ety = 2,z» — 5 est minimum.
2. -y = x* + y* + 2xy ^8x + 8y.
Pourx«= i ety=— 1,z=. — 12esi minimum.
HE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 135
5. z = 2,* — 8»/'+ I8i/* — 8i/ + x' — 3x* — 3x.
WPi= 1 -|-l/2 et i/ = 2 dz 1/3, z = — G — 4l/ï, double minimum;
MF X = 1 — l/T et y = î2 , z = 3 -[- '4 ^^i maximum ;
ourx= I — V/2 et y = 2 =fc Vd, ni maximum, ni minimum de ^;
iourx= I -|-l/5 et î/= 2, ni maximum, ni minimum de z.
4. z = X* -(- îy* — ax*y — axy' + c*x' + c*iy*.
Pour a: «= y = 0, z = est un minimum.
3ti + l/ya*— Sic* 27 ^, 9 ,, c*
Pour x = V = , 2 = a* H arc
a '
{9a* — 32c*)" est minimum.
3a_l/i)tt*-3ic* 27 ^ , 9 , , c*
Pour X = î/ =• ï 2 = «H " c
*^ 8 ' 256 ^16 2
a '
-I (9a* — 32cV 1^ csl ni maximum, ni minimum.
^ 256 ^
Pour trouver les autres valeurs de x ei y qui pourraient
correspondre à des maxima ou à des minima de z, il fau-
drait résoudre une équation littérale du sixième degré.
(Euler.)
5. 2* = ax* + 26x1/ + cy* — ^* — /y- (Équation générale
des surfaces courbes du second ordre.)
ce — hf af — 6e
—- et t/= — 77"» ^ sera minimum
2(ac — 6*) -^ 2(ac— 6«)
si a et c sont positifs et 6^* < ac ; maximum, si a et c sont
négatifs et 6* < ac; ni maximum, ni minimum, si a et c
sont de signes différents ou si 6* est > ac. (Lagrange. )
6. z = x«»/(x* + 2f/' — a)«.
Pour X» V/ -- et M = \/ — , z est maximum,
y 17 -' ▼ 17
Pour X =
436 EXERCICES MÉTHODIQUES
7. Z = ''
(X — a) (y — 6)
Généralement, quand log;s est maximum ou minimum,
% l'est aussi.
Posant log % = ;s', on a
-î' = 3 log X + 5 log t/ — log (x — a) — log (y — 6)
D'où dz 5 1 f/z'__5^ 1
rfx X X — a rf]/ y y — b
Égalant à ces dérivées, il vient
2x — 5a =0,
2y — 36 = 0.
D'où 3a 56
Î2 ^ 2
D'autre part, d}z 3 1
i« "~" ~~* 7IÏ "i~
dx* X* (x — af
——
dxdy
d^z' 1
= — —< +
«'y* y* (y—bf
En substituant dans ces dérivées de second ordre les
valeurs de x et t/, on trouve
d^z _ 8 d^z' _ flP;z' _ 8
dx* 5o* dxdy ' d^* 36*
D'après ces résultats, il est facile de voir que pour x = -^
et y = y, z' = \og Ijabj , et, par suite, ^ = ( 4- abj est
minimum.
Le procédé suivi dans cet exercice est souvent employé
quand la fonction est un produit ou renferme des radicaux.
8. z = xf/ l/a*6*— aV— by.
^ b a a^V
Pourx=±— — et y = db— —»«=;: ; double maximum.
1/3 1/5 5\/5
DE CALCUL DIFFÉRENTIKL. 137
9. z = s'in X -{- sin y + sin (x + .v).
Pour X = y = 60% z = est un maximum.
0. M = xyz (a* — x' — j/* — z').
a 2a*
Pour X ^= y = z = — -* " = » u" maximum ;
1/5 251/5
a 2a»
pour X = «/ = z = » w = , un minimum.
1/5 251/5
M . M = ax' — 6xy -(- x-? -|- ?/«.
Pour x = i/ = z = 0, i(==0 n'est ni maximum, ni minimum.
2*. abxyz
11 M
(rt + x)(x + ^)(// + z)(^ + c)
u = ab I— -\ . un maximum.
la* -I- C4 /
En procédant comme dans l'exercice 7 et posant dans le
cours du calcul f^j =-, on trouve que, pour x = an,
y = ail*, z = a7i',
+
1 3. (x» + !/' + «') =» x> + î/«xar + z*xy.
Pour x = y^=^a. 1,6...
zcs=a . 0, 85 ..., un minimum.
14. Trouver dans Tintérieur d'un triangle un point tel
(|ue la somme des carrés de ses distances aux trois som-
mets soit minimum.
Soient A, B, C les sommets du triangle proposé; a, b^
c les côtés opposés ; le point cherché.
En prenant le sommet A pour origine, la direction de c
pour axe des abscisses ; représentant par x, y les coordon-
i38 ËXEKGICtiiS MÉTHODIQUES
nées rectangulaires du point et par u la fonction qu'il faut
rendre un minimum, on trouve que
Il = x^H- i/+ (c — x)*+ y^ + (h cos A — a;)*+ (6sin A-.y)-
et que, pour x =» ^j±JL9.21A et v = ^-^ , u est minimum.
D'ailleurs, pour ces valeurs de x et y, les distances du
point cherché aux sommets du triangle sont
3 ' 3 ' — 5
Le point est le centre de gravité du triangle.
15. De tous les triangles que Ton peut inscrire dans un
triangle donné, quel est celui dont le périmètre est le plus
petit?
Soient A, B, C les sommets du triangle proposé; a, 6, ^
les côtés opposés; D situé sur c, E situé sur a, F situ^
sur bj les sommets du triangle cherché. Soient, en outre^
BD = X, Œ = y, AF = ;s et u le périmètre du triangle
DEF. On a
u = [x* + (a — yf — 2x(a — y) cos B]*
+ [y' + (b- zf - î2f/(6 — z) cos C]î
+ [-5* + (c — x)* — 2z (c - x) cos A]ï.
En égalant à les dérivées de u par rapport à a;, à y et
à ;5, on trouve
X — (o — t/) cos B (c — x) — z cos A
I
[x» + (a — t/)' — 2x(o — y] cos B]* [z- + (c — x)*— :2s(c — x) cos
et deux autres équations que Ton peut écrire immédiate-
ment. Or si, des points E et F, on mène les perpendicu-
laires EP et FQ sur AB, il est facile de voir que l'équation
précédente n'est autre que
DP DQ
— « — ^ ou cos BDE « cos ADF.
DE DF
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 139
Donc les angles BDE et ADF sont égaux. On prouverait
de même que les angles BED et CEF, CEE et AFD sont
respectivement égaux.
Donc on obtient le triangle cherché en joignant entre
eux les pieds des perpendiculaires menées des sommets du
triangle donné sur les côtés opposés.
Au lieu de résoudre les équations de condition du maxi-
mum ou du minimum deu :
du du du
dx dy dz
on cherche souvent, quand elles sont compliquées, à les
interpréter, comme dans cet exercice, de manière à en tirer
d'autres conditions que celles des valeurs dex, y, Zy etc.
16. On donne deux droites qui se coupent et deux points
situés dans Tangle qu'elles forment. Trouver sur les droites
deux points tels que la somme de leurs distances entre eux
et aux points donnés soit minimum.
Soient A le point de rencontre des deux droites données
AX et AY ; D et E les deux points donnés ; G pris sur AX,
F pris sur AY les deux points cherchés. Après avoir mené
de E sur AX la perpendiculaire EP et, de D sur AY, la
perpendiculaire DQ, soient tirées les droites GE, GF et FD.
Posons
AP = a, AQ = 6, EP = p, HQ = 9, AG=:x, AF-«y.
En représentant par u la somme des droites GE, GF et
FD, on trouve que
««[p«-|.(a-x)»]« + [x«+i/«-2xi/cosA]*'+[7»-f-(6-y)»]i-
et, en égalant à les dérivées de u par rapport à x et à y,
a — X X — y cos A
-7 = '■ r
[p* + (a — x)*]* [x* + y* — 2xy ces A]*
6 — y y — X cos A
W + (^ - y)'¥ [^' + !/* - 2xy cos A]«
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 441
Si, de 0, on mène la perpendiculaire OP sur AB et que
l'on pose
on trouve qu'en représentant paru la somme des droitesOA,
OB et OC, on a
tt=(x«+y*)«+ [(c- xY+y*]'+ [(x-b CCS A)-+ (y -b suiAf] i
et, en égalant à les dérivées de u par rapport à ^ et à j/,
X c — X b cos A — X
i'^'+y')^ [{c — x)*+ yj* [(x — 6 cos A/+ {y —b siii A)*]«
.y y 5sinA — y
1 "T
(x'+y^f [(c - x)*+ y^Y [(X — 6 cos A)*+ (y - 6 sin A)*]*
Or, si Ton désigne par 6 et 9' les angles AOP et BOP, il
est facile de voir que les équations précédentes fournissent
6 cos A — X
sm B — sin »' =
cos e -}■ ^^^ ^'
[(X — 6 cos A)* + (y — 6 sin A)*p
h sin A — y
[(x — 6 cos A)* + (y — b sin A)*]'
Elevant au carré et ajoutant, on trouve
cos(e + e') = — -.
O'où e + e' = AOB=i20^
On prouverait de même que AOC et BOC valent cha-
cun 120^
En représentant par t, v et tv les droites OA, OB et OC,
on trouve
i4S EXERCICES MÉTHODIQUES
équations qui donnent, en représentant / + r + w par s,
8 a'^ + c^ — W
t? = — ,
3^ 5s
»-> os
Ce problème est célèbre dans l'histoire des niathémati—
ques et M. J. Bertrand en a donné une solution très pra-*
tique dans le Journal de Uoiwilley tome VIII.
Section IV. — Fonctions dont les variables sont liées
par des équations.
Soit w™s/*(x, t/, Â, v, w ...)
une fonction de m -f- w variables lides par les n équations
Lc«0, M = 0, N = (I).
Pour déterminer les valeurs des variables qui peuvent
correspondre aux maxima et aux minima de m, on égale à
la différentielle totale de u et Ton différentie les équa-
tions (1) par rapport à toutes les variables qu'elles contien-
nent. Des n + 1 équations ainsi obtenues, on élimine,
souvent avec avantage par la méthode des multiplicateurs,
les différentielles des 7i variables dépendantes et, dans
l'équation finale, on égale à chacun des coefiicicnts des
différentielles qui restent. Ce procodé fournit m équations
qui, jointes aux n équations (1), fournissent les valeurs
cherchées.
Pour chaque système de ces valeurs, on reconnaît qu'il
y a maximum ou minimum au moyen des dérivées par-
tielles du second ordre de u et des inégalités connues. La
(♦) S = - (a« +b*-^ ci) 4- 2 [/'à m«,
expression dans laquelle m* représente la surface du triangle.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 443
nature de la question exempte parfois de ce calcul souvent
laborieux.
Exemple 1.
Soit à chercher le maximum et le minimum de la foncr
tien
u =: a 8\n^ X -{•• b s\n* ij ,
x eiy étant lies par l'équation
y-^^ = l 0).
Égalant à la différentielle totale de u et différentiant (1),
0¥i a
a sin 2xdx -f- ^ sin 2yrfy = 0,
dy — dx = 0.
Éliminant dy et égalant à le coefficient de dx dans
l'ëqualion résultante, on trouve
asin2x + 6sin2y = 0. .... (2),
et le système des équations (1) et ^2) doit fournir les valeurs
des variables correspondant au maximum et au minimum.
Or, de (1), on tire
ot, par suite,
sin 2y = sin f 2x -{- - j = cos 2x.
Substituant cette valeur do sin 2i/ dans (2), on obtient
b
tang 2x =
a
D'où
sin' X = » sm' y =
et
ii=i[a + 6d={o« + 6vJ.
Le signe supérieur donne pour u un maximum et le
signe inférieur un minimum.
'JQ
iU EXERCICES MÉTHODIQUES
Kxomple II.
Par un point donné, mener un plan tel qu'il forme avec
les plans coordonnés un tétraèdre minimum.
Soient l'origine des coordonnées rectangulaires; A, B
et C les points où le plan cherché rencontre les axes OX,
OY et OZ; a, b, c, les coordonnées du point donné.
Posant OA = ic, OB = y et OC = z, on trouve que la
fonction dont il faut trouver le minimum est F^
les variables étant liées par l'équation
-+-+-=i in
X y z
La fonction proposée donne
log w = log X + log y + log « — log 6.
Égalant à la différentielle totale de cette expression ^^
différentiant (1), on a
dx , du dz
- + - +- =0,
X y z
adx bdu cHz
«* t/* JS'
Entre ces deux équations, il faut éliminer dz et é^^'^^
à 0, dans l'équation finale, les coefficients de dy et d£? ^'•
On y parvient élégamment par la méthode du multiplica^^i^
indéterminé.
Multipliant donc la première de ces équations par le fac-
teur indéterminé \ soustrayant de l'équation résultante la
seconde équation, membre à membre, puis égalant à tes
coefficients dedx, dyet dz, on trouve facilement
abc
^ x'^ y~ z
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. M5
abc
D'où 3A = - -j 1- - =^^ I, en vertu de l'équation (1).
X y z
i
Donc ^ ■* r »
3
et, par suite,
9abc
x = 3a, y = 36, z^=oc et w=
On reconnaît aisément que cette valeur de u ne peut être
qu'un minimum.
Kxemplo III.
Décomposer le nombre n en trois parties telles que la
somme de leurs carrés soit maximum et que, multipliées
respectivement par les nombres a, b et c, la somme algé-
brique des produits soit nulle.
Soient x, t/, z les parties.
On aura à chercher le maximum de
les variables étant liées par les équations
x+y+z^n,
ax + by-\-cz = 0, * ' ' ' ^ ''
Égalant à la dérivée totale de u et différentiant les
^^quations (1), on a
xdx -{- ydy -|- zdz = (2),
rfx -j- rfy + dz «= (3),
adx + bdy + cdz = (4).
Entre ces équations, il faut éliminer dz et dy, puis, dans
l'équation finale, égaler à le coefficient de dx. On y
parvient élégamment comme suit :
Multipliant (5) par — X et (4) par (jl (X et a étant des
^Multiplicateurs indéterminés), puis additionnant, on trouve
a^ + x = A, 6A* + y = ^j c^-|-z = A. . (5).
10
146 EXERCICES MÉTHODIQUES
Ue ces équations, jointes aux équations (1), il faut tirer
les valeurs de x^ y, z, X et [x.
Additionnant les équations (8), on a
(a -}- 6 + c) fi + n =» 5a-
Les additionnant de nouveau après les avoir multipliées
respectivement par a, b et c, on trouve
(a* + 6* + c*j f. = (a + 6 + c) X.
Posant a -f t + c == 5| et a* -j- 6* + c' =» 5„ les deux d^-
nières équations s'écrivent
s,p -|- n e= 5a,
Substituant ces valeurs de [x et de X dans les équations l^y -
on trouve
n
X = («, — a»i),
OSi — s]
n . .
n
Le maximum demandé est donc
n'
(5«, — s]y
Exemple IV.
Partager un nombre donné a en n parties telles que leur
produit soit un maximum.
Soient x, y, z,v,tv ..», les n parties, on aura à chercher
le maximum de
u s=s xyzvw . . . ,
les variables étant liées par l'équation
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 147
Egalant à la différentielle logarithmique de u et diffë-
renliant (1), on a
dx , dy dz dv dw ,
- + ^ + -+-+—+...=0,
X y z V w
rfx -j- dy -j- c/ji -j- rfi; + rf^ + • • • = 0.
Multipliant la première équation par le multplicateur
indéterminé — \ additionnant l'équation résultante avec
la seconde équation et égalant à les coefficients de dx, dy,
dz,dv,dw ... , on trouve
• • t
D'où wA = o et X = -
n
Donc
a /o\"
x = y = z = v = u?.,. — - et M = (-
n \nl
Ce problème permet d'en résoudre nombre d'autres très
facilement.
• a* 6*
x' y*
les variables étant liées par l'équation x -f- 1/ = c.
X s
Pour X = c — et y =c -^ , on trouve
1 / * !\»
M = — I a* -|- 6'j , un minimum.
2. u = 5x + Dî/,
X et î/ étant liés par l'équation 4sinx — 3cos j/ = 0.
On trouve
/5\* 3
w = 5arcsin(-I -f- 3 arccos- = 5,155 ..., un maximum.
5. M = (mx -f- n) {ny -[* ''0»
X et 1/ étant liés par l'équation a"*' X fr*^ = c.
448 EXERCICES MÉTHODIQUES
En faisant usage des logarithmes et de la méthode du
multiplicateur indéterminé, on trouve que
log (ci''6'"c) . log(a''6"'c)
pour mx + #1 =» : et ny + wi = ; — ,
^ ^ :2loga ^^ 2Iog6
[log (o"6'"c)T
u «= — ■ — -- , un mnxmium.
4 log a logo
4. ,/ = {x + a)Cy + 6)(z + c),
x,y eiz étant liés par Téquation a'^b^c' = k.
En opérant comme dans l'exercice précédent, on trou^r^ c
aisément les valeurs de a* -j- a, t/ + ''i ^ + c et de
(log fca-6Vj*
u = — — , un maximum.
27 log a log 6 loge
réquation x + my^ -j- nz' = a liant les variables.
Par la méthode du multiplicateur indéterminé, on trouv- ^^
facilement
a'
u = , un maximum.
27/wn '
%, ti = COS X COS y COS JZ,
réquation de liaison des variables étant x -(- j/ + 2 = tc.
En égalant à la différentielle logarithmique de la fonc — '
tion et employant le multiplicateur indéterminé,
tang X = tang y *=■ tang z.
D'où
x = y t=^ z = ~ cl M = -, un maximum.
7. M = (a'— 1)(6i'— 1)(c*— 1),
X, y, z étant liés par l'équation a'b^c' = fc.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. i40
Faisant usage des difFérenlielles logarithmiques et du
multiplicateur indéterminé,
m = IA;' — ij , un maximum.
I
l'équation de liaison étant a'b^c' = A.
Opérant comme dans les exemples précédents, on obtient
pour maximum de la fonction proposée
(a_,)(6-1)(c-1)
9. u=x^yh'^t\
les variables Xy y^zett étant liées par l'équation
* + 2y + 3z + 4( = a.
On trouve pour maximum de la fonction, en posant
ot-{-p-|-y-|-8 = n:
10. L'un des angles obliques d'un triangle sphérique
rectangle est donné : déterminer les côtés qui comprennent
cet angle, de sorte que leur différence soit la plus grande
possible.
Soient a l'angle donné, cp et 9 les côtés qui le compren-
nent, (p représentant l'hypothénuse.
Il faudra chercher le maximum de
9 et 6 étant liés par l'équation
tangd =cosalangf.
On trouvera que pour
tang f a= (sec a)* et tang 6 == (cos a)',
u est maximum.
i$0 EXERCICES MÉTHODIUl'ES
11. De tous les parallélipipèdes rectangles dont la somme
des arêtes est la même, quel est celui dont le volume est le
plus grand ?
Soient x, t/, z trois arêtes contiguës, a leur somme.
On aura à chercher le maximum de
u = xyz,
x.y^z étant liés par l'équation x-\-y-{'Z^='a.
C'est le problème présenté comme exemple IV.
a a'
Pour x==v = ^==-f " = :r-» "" maximum.
^ 3 27
12. De tous les cylindres droits, à base elliptique, qt^
l'on peut inscrire dans une sphère donnée, quel est cel ^
dont le volume est maximum T
Soient x et y les demi-axes de l'ellipse de base; % ^^
hauteur du cylindre ; a le rayon de la sphère,
il faudra chercher le maximum de
les variables étant liées par l'équation a:*-f-y* + ;s'= a*.
En faisant usage des logarithmes et du multiplicateu:^
indéterminé, on trouve que pour
a
1/3
na^
u = est le maximum cherché.
31/3
L'ellipse de base doit dont être un cercle.
13. Plus courte distance d'un point à un plan.
Soient a, fr, c les coordonnées du point ;
Ax + By -|- Cr + D = Téqualion du plan . (i) -
On aura à chercher le minimum de
X, y, et z étant liés par l'équation (1).
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL, 151
Egalant à la différentielle totale de u el différentiant (1),
on a
(x — a)dx -{-(y — b) dy -f" (^ — c) rf« — 0,
Arfx + Bdy + Cdz « 0.
En faisant usage du multiplicateur indéterminé, on trouve
X — a y — 6 z — c
A "" B ^'~C
D*où, par les propriétés connues des rapports égaux,
(x^aY+(y—b)*+{z^c)' ^^ \/{x^nf+{y^b)*+iz^cY
A{a:'-a)+ B(y-6)+C(z— c) V/a' + B' + C'*
ou M* U
— (Aa + B6 + Cc + D)^'*=V/Ai+B«+'^'
D'où Aa + B6 + Ce + D
«
14. Maximum et minimum de la distance d'un point
donné à une sphère donnée.
Soient a, b^ c les coordonnées du point donné; x, y, z les
<iOordonnées courantes des points de la sphère; a, p, y les
coordonnées de son centre ; R son rayon.
On aura à chercher le maximum et le minimum de
u = i/(x- af+ (y - 6)»+ (z - c)«,
l'équation de la sphère
(x-«f + (iy-p)« + (^-rf-R». . . (I)
liant les variables.
La règle fournit les équations différentielles
(x — a)rfx + (y — 6)rfy-{-(z— c)(/z==0. . (2),
(x — a)rfx + (y — p)(/i/ + (z— r)rf« = 0. . (3).
Soustrayant ces deux équations, on trouve que l'une
d'elles (2), peut être remplacée par
(a — «)rfx + (6 — |3)(/y + (c — r)£/z = 0. . (4).
/
im EXERCICES NÉTHODIQUtS
Multipliant (4) par le facteur indéterminé X, retranchant
(3) et égalant à les coefficients des différentielles, on
trouve
a— a h — p c^Y l/(a — «f-f-(6— .S/+(c-r)*
D*oii, en représentant par D la distance du point donné
au centre de la sphère, laquelle est
R
X — a = ziz — (a — a),
R
D'où, aisément, les valeurs de a; — a, de j^ - fc et de 2— c;
puis, par substitution,
M = Ddb R.
Le signe supérieur correspond au maximum, le signe
inférieur au minimum.
13. La surface {x^ + if + z^f = aV + ty -|- (?z^ (1) es^
coupée par le plan lx-\'my-\-nz=^ 0. Trouver le maximu ^^
et le minimum de la distance du centre de la surface à
point du périmètre de la section.
En représentant par r la distance dont il s'agit, il faud
déterminer le maximum et le minimum de
les variables x, j/, z étant liées par les deux équations de
surface et du plan. En opérant comme dans l'exemple II
on trouvera pour déterminer le maximum et le minimu
de r l'équation
/* m* /**
1 1 =0.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 453
(1) est la surface cCélasticité et l'équation précédente sert
à trouver les vitesses de l'onde propagée dans un milieu
cristallisé. (Fresnel et Herschell.)
16. Un paraboloïde elliptique est coupé par un plan per-
pendiculaire à l'axe. Trouver le plus grand parallélipipède
rectangle que l'on puisse inscrire dans la portion de para-
boloïde déterminée par le plan sécant.
Soient a la distance du plan au sommet du paraboloïde;
X, y, z les coordonnées de l'un des points communs au
paraboloïde et au parallélipipède.
Il faudra chercher le maximum de
u ■= 4(a — x) yz (volume du parallélipipède),
x,\i,z étant liés par l'équation du paraboloïde
On trouvera que, pour
..t. ,_(.|)= .. ._("^)',
ie maximum est
Si le paraboloïde était de révolution, on aurait u = a*/>.
17. Trouver l'aire de la section faite dans un hyperbo-
loïde à une nappe par un plan qui passe au centre.
La section est une ellipse dont les axes sont les valeurs
maximum et minimum du rayon vecteur
r = Vx" + y^ + z\
les variables x^y eXz étant liées
X* y* z*
!• par -^ + t;: : = 1 » équation de l'hyperboloîde ;
o* 6* c*
2* par Ix -^-my -)- nz — > 0, équation du plan sécant.
i54 ËXERGiCËS MÉTHODIQUES
En opérant comme dans Texemple III» on trouve pour
déterminer le maximum et le minimum de r l'équation
— , =
.« "^ ^8 AS ^« I -a
r* — a* ' r» — 6* r* + i^
Ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de r'
et divisant par le coefBcient de (r*)*, on trouve que le
dernier terme, produit des deux racines, est
Donc Taire cherchée est
nabc
18. Trouver la surface de l'ellipse dont l'équation est
A(x~«)* + 2B(«-«)(y-^) + C(y-p)»+i=0(i),
a et ^ désignant les coordonnées du centre.
Les axes de l'ellipse cherchée sont les valeurs maximum
et minimum du rayon vecteur dont le carré est
r*==(x-a)«-{-(.y-P)»+2(x-a)(y-p)cose,
6 étant l'angle des axes et x^ y étant liés par l'équation de
la courbe.
Égalant à la différentielle totale de r, différentiant (1)
et faisant usage du multiplicateur indéterminé \ on trouve
que les coefficients de dx et de dy, égalés à 0, donnent
A[(a: - «) + (y - p) cos »] + A (X - a) + B (y — p) = ,
4(!/-P) + (^-«)cosd] + C(y — p)-f-B(x-a)c=0.
Multipliant la première de ces équations par x — a, la
seconde par y — p et additionnant, on trouve
!•
xr»— ! =0, d*où A = ---
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. Ibo
Substituant cette valeur de X dans les deux équations, on
peut écrire les résultats comme suit :
(^cosâ + B)(x-«) + (l + c)(t^-|3) = 0.
Pour éliminer x — a et j/ — p, il suffit de remarquer
que les seconds membres de ces équations étant nuls, le
dénominateur commun de x — a et t/ — |3 doit être nul
aussi, ce qui fournit
(p + A)(l + c)-(icos6-t-B)-0.
D'où
(AC — B») r* 4- (A -f- C — 2B cos f ) r* + sin» fl = 0.
Après avoir divisé par AC — B*, on voit que le dernier
terme de cette équation, produit des racines, est ^^ _ ^^
et que, par conséquent, Taire cherchée est ^^^
^ '^ ^ \/AC - B«
19. Trouver le volume de l'ellipsoïde dont l'équation est
ax* + ay + a"z^ + "ùbyz + Wxz + 26"xy = c . (1 ).
Les axes principaux de l'ellipsoïde sont les valeurs
maximum et minimum du rayon vecteur
r = l/x*+iy* + z* (2),
les variables étant liées par l'équation (1).
En égalant à la différentielle de (2), dilférentiant (1) et
faisant usage du multiplicateur indéterminé X, les coeffi-
cients de dx, dy^ dz égalés à donnent
Ax + ax +6'« + 6"y=:0,
^y +(^y +bz -f 6"x = 0, . . . . (3).
kz-^a^'z + by +6'x =0.
166 EXERCICES MÉTHODIQUES
Multipliant ces équations respectivement par x, y, % et
additionnant, on trouve
c
Substituant cette valeur de X dans les équations (3), W
vient
b'x + 6y— f~a")z = 0.
Pour éliminer x, y, z, même remarque que dans Vexetr-
cice précédent, ce qui fournit
(i_„) («_„.) (^_..) _.(«_„) _..(«_..}
6"* (4 — a") — 266'6" = 0.
Ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de
et observant que le dernier terme est le produit des racines^
et par conséquent celui des carrés des axes principaux, ou
trouve pour le volume cherché
c*
^ (aa'a" — ab^ — a'6'* — a"6"» + î266'6")«
20. Trouver la plus petite ellipse que l'on puisse cir-
conscrire à un triangle donné.
Soient OXY le triangle donné ; OX = a, OY = fc et
l'angle YOX = 9. En prenant pour origine, OX et OY
pour axes des x et des t/, et représentant par a et ^ les
coordonnées du centre de l'ellipse cherchée, l'équation de
cette courbe peut s'écrire
A(x_a)*+2B(x-«)(t/-p) + C(y-p)«+1-0. (i).
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. iST
En exprimant que la courbe doit passer par les points
O, X et Y, on obtient trois équations qui fournissent pour
les coefficients A, B et C :
2|3 — 6
A = —
B =
a(a6 4-pa — ab)
(2of — a)(2p — 6)
2ap(a6 + |So — «6)
2a — a
P(a6 + pa — ci6)
L'aire de l'ellipse (1) est
irsin 6
*\s
; (voir l'exercice 18),
(AC — A»)
expression qui sera un minimum si AC — B' est un maxi-
mum. Substituant les valeurs de A, B, C dans AC — B' et
cherchant quelles sont les valeurs de a et de ^ qui corres-
pondent au maximum de la quantité résultante» on trouve
a h
«==_ et 0=:--
5 ^3
Par suite,
* 2a6 6*
L'aire cherchée est donc
Sir
ab sin B,
31/3
(EuLER, Solution de Bérard.)
458 EXERCICES MÉTHODIQUES
CHAPITRE XI.
IV
TANGENTES ET NORMALES DES COURBES PLANES.
En désignant par x' et y' les coordonnées courantes 'i
par X Qiy celles du point de contact de la tangente ; par & 41
S„, T et N, la sous-tangente, la sous-normale, la tangea ^^
et la normale, on a
A. En coordonnées rectilignes rectangulaires.
a. L'équation de la courbe étant de la fovmey^^f{x^^
dy
(i) y' — y *= T" (**' — ^)» équation de la tangente;
i
(2) t/' — y s=s — —- (x' — x), équation de la normale;
dy
dx
S. = | . . .(3); S„ = yg. ,m
dx
''-y /^+7^»-^«)' ^-v*+(ir («)•'
s/'^m
et^ p désignant la perpendiculaire menée de l'origine sur
la tangente,
dv
y — x —
*^ dx
P = , (7).
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 459
l. L'équation de la courbe étant de la forme F (a;, y) = 0.
dF il F
(y' — y) h (^' "~ ^) 7~ ■■ 0> équation de la tangente;
dV dF
(y' — v) T" — (^ — ^) -7- =^ ^> équation de la normale;
dx dy
dF dF
S,= -2/|.{iO);
dx
n
dx
dy
= !/
rfF\
dy
V \tJ
(12); N = y
p =
rfF
jî (">'
. . . (14).
B. En coordonnées polaires.
■ et r représentant l'angle polaire et le rayon vecteur,
'angle de la tangente et du rayon vecteur,
dr
s,. = ^. . (15);
/ ^
n/ (S
S,==-. . . (16);
(i7);N=v/r*+(^)* (18);
lang/u = -- . . . (19); p =
di
N/^+Ê)'
• (20).
460 EXERCICES MÉTHODIQUES
Rxemple I.
Trouver les éléments principaux de Tellipse dont Téqua
tion est
-s+s— ■>■
En dérivant, on trouve
c/F _ 2ar dF %
dx a* f/y fc* '
HV /VIT
et, en remplaçant ^ 6t -^ par leurs valeurs, on tire succeî
sivement :
!• De l'équation (8),
ou xx' yy' _
a
pour équation de la tangente.
2» De l'équation (9),
ou (y' — y) X (x' — a?) y
pour équation de la normale.
3« De l'équation (10),
2y
6* o* — X*
a
2x X
8
4* De l'équation (11),
2x
.s fts
S«=-!/^ = -,-.-
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL.
5« De l'équation (42),
461
T==
b
V \a*
-V^+f
6<» De l'équation (13),
f2ar\
N-=y
s/'
a*
< + —
/
V a* ^6*
7" De l'équation (14),
2x , 2v
i
P =
\/(ïr+(i)" \/fTi
Ces éléments peuvent servir à en calculer d'autres.
Ainsi, en faisant tour à tour y'— et a;'«=» dans
l'équation de la tangente, on trouve que les distances de
l'origine aux points où la tangente coupe les axes des x et
des y sont
X =— et V ■= — •
y
X
Il en résulte que la surface du triangle compris entre la
tangente et les axes est ^^, et que la portion de tangente
. interceptée par les axes est
V
De l'expression de p, on tire
V
H
i«i EXERCICES MÉTHODIQUES
et, par suite, la portion de tangente trouvée peut s'écrire
^ et la longueur de la tangente, ^•
La soustraction donne
pxy px pxy py
Le produit des portions de tangente comprises entre \c
point de contact et les axes est donc
a*y 6*x a*6*
px py^ p*
On calculerait facilement encore que la distance du foj^®^
à la tangente a pour expression
a*6* , , >
^ - . , c étant égal h Va* — 6%
et que l'abscisse et l'ordonnée du point où cette perpenc^*"
culaire rencontre la tangente sont respectivement
o*(c + x) u*u
^ ' ^ et ^
II
in
V
a* -^cx ^* + ^^
La distance du centre de l'ellipse à ce point est, p6t^
conséquent,
' a\c + xf «"V~ ^,
(a* + cxf (a» + cxf
comme on le trouve en géométrie analytique.
Exemple II.
Calculer les éléments principaux de la spirale logarith'
mique dont l'équation est
d* L'équation (15) donne, puisque ^«Twae*"',
S„ = mae"^' = mr.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 163
Il en résulte que le lieu des extrémités de la sous-
normale est une spirale semblable à la proposée.
2' L'équation (16) fournit
r* r f
S, = — = - = - ae"'.
mr m m
Le lieu des extrémités de la sous-tangente est donc encore
une spirale semblable à la proposée.
3* D'après l'équation (17),
= r\/
r* r
fwV m
4^ En faisant usage de l'équation (18), on trouve
N -= V/r* + fwV* = r l/l + m\
5« On obtient, équation (19),
r \
tang/uea — = — .
mr m
L'angle de la tangente et du rayon vecteur est donc
constant.
6« Enfin, en employant l'équation (20), on obtient
r* r
1. La somme des distances de l'origine aux points où la
tangente rencontre les axes est constante dans la courbe
On trouve, en effet, que la somme cherchée est a.
â. La tangente à la courbe
a
est constante.
x+l/a« — V* , a + l/a* — y
= log '-
464 EXEKCICËS MÉTHODIQUES
En ejffet, on obtient T=a.
«3. Dans la courbe dont Téquation est
x' — a*,
la somme de la tangente et de la sous-tangente est propo^
tionnelle au rectangle des coordonnées du point de contact.
xy
La somme dont il s'agit est —
a
4. Dans la spirale hyperbolique dont Tëquation est
a
t
le lieu de Textrémité de la sous-tangente est un cercle.
On trouve S, = — a.
5. La courbe qui a pour équation
46y = 4a6x — (a* + 1)x*
fait avec Taxe des abscisses deux angles supplémentaires
l'un de l'autre.
x = Q et a; e= -^ï^ sont les abscisses des points oii ^^
courbe rencontre l'axe en question et, pour ces valeurs
de x^ on trouve
dti dit
-^ = a et -/ = — a.
dx dx
6. L'aire du triangle compris entre la tangente à l'I^Ï'
perbole xy = fc* et les axes-asymptotes est constante.
L'expression de cette aire est 2fc*.
7. Le centre d'une ellipse coïncide avec le sommet d'u^®
parabole et le grand axe de la première courbe est perp^^'
diculaire à l'axe de la seconde. Pour que l'ellipse coup^ *^
parabole à angles droits, quelle doit être son excentrici*-^
Soient -- + ^ = i et x^ = 2»y
les équations de l'ellipse et de la parabole.
s
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. ia
Les coefficients angulaires des tangentes aux courbes,
aux points communs, sont respectivement
dy 6*x dy x
dx a*y dx p
et la condition de perpendicularité des tangentes fournit
aisément pour l'excentricité e cherchée ^
, ypy
X
8. Dans la spirale dont l'équation est _ .
r"s=a'* sin n/,
Tangle des deux tangentes menées aux extrémités d'une
corde passant par le pôle est constant.
En effet, on trouve |x = nf et, en désignant par |jl' l'angle
correspondant à f + tu, ji' = n (t -j- tc).
La différence de ces deux angles, ou l'angle des tangentes
dont il s'agit, est donc mz.
9. Dans l'hypocycloïde
s s 1
x^ + y' c= o^
prouver que la portion de tangente interceptée par les axes
est constante et chercher l'expression de la perpendiculaire
menée de l'origine sur la tangente.
La portion de tangente est a
et 1
10. Dans la cardioïde
r= 0(l €08 /),
Tangle du rayon vecteur et de la tangente est la moitié de
celui que le rayon fait avec l'axe polaire, et les cordes
passant par le pôle sont de longueur constante.
On trouve 1
466 EXERCICES MÉTHODIQUES
D'autre part, en désignant par r* le rayon vecteur de
même direction que r, mais de sens opposé, on a
r' -s a[l — cos {t + ir)] »= a(i -j- cos I).
Donc, r-^r'^^a. '
11. Distance du pôle à la tangente et angle de celle-ci
avec le rayon vecteur dans la courbe dont l'équation est
r = a(séc t — tang t).
On trouve
^ar 2ar*
tang ^ B= T» P = — *
« M-»^ I/o' + 6o*r» + r*
12. Eléments principaux de la courbe logarithmique
dont l'équation est
X
On trouve
y'— y x' — x
y a
y'—y ^ x' — x
« y
,1
, pour équation de la tangente;
, pour équation de la normale ;
S. = a; S„ = ?^; T =V/?+7; N=?l/?+7;
P =
a a
y(a — x)
wv+7
13. Eléments principaux de la cissoïde de Dioclès
y ^
a — X
x«(5a — 2x)
y' — y = r~(*' — ^) ®*^ réquation de la tangente
2(0 — x)«
3
y' — y s= (x' — x), i'équnlion de la normale;
x« (3o — 2x)
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 167
__ ^x{a — x) ^ ^ x*(ôa — 2x)
'^ 3a — 2x ' "~ 2(a-x)* '
_, ax • /4a — 3x ^^ ax , .
T=z — V ; N«-- -l/x(4a— 3x);
oa — 2x ▼ a — x 2(a — x)* ^
X
l/4a — 5x
44. Eléments principaux de la cycloïde
x =^ a . arc cos — V^^ay — y*.
On obtient
a — y
a
/2a— y,_,
y ^y=^y — K — x), pour équation de la tangente j
'' — y = — V/ — ^ — (x' — x), pour équation de la normale;
y ...
p =
2a -y
yVy — x\^^a — y
18. Eléments principaux de la chaînette
On obtient
y' — y x' — X
l/y*— a* «
y' — y x' — T
, pour équation de la tangente;
l/p^=^
, pour équation de la normale;
r
168 EXERCICES MÉTHODIQUES
S.-".(.;-.-ï), S,_-^;
N=?-; T ^' •■ p = o — -l/y^ITÔ'.
Quand a; — 0, p = a.
*
16. Eléments principaux de la circonférence dont un des
points est pris pour pôle.
La circonférence a pour équation r'^a cos ^ a désignant
le diamètre du cercle.
S. = — l/a* — r*, S,=
ar
l/^
r r*
l/a*— r* «
17. Eléments principaux de la lemniscate
^«s=o*cos2^
En représentant l/a* — r* par R, on obtient :
R r^ aV
"~~7' ' r' ""T'
N =~, tangA«= — -, p = --
r R a*
#
18. Eléments principaux de la spirale elliptique
l/a« — 6*
l/o«— 6*(==a.
arc cos
r
En représentant par R la quantité l/r* — (a* — 6') , or^
trouve
r _ _ ar ._ r 1^6* -j- r'
;,--R, S,==-, T =
a ' • R' R
ar
r y a
N=-K6'-|-r*, tangf* = -, p =
a R \x/.«_i-|.«
l/6«+
DE CALCUL DIFFÉRKINTIEL. 169
CHAPITRE XII.
ASYMPTOTES.
Soit y=sf{x) réquation d'une courbe rapportée à des
coordonnées rectilignes.
Si l'on peut développer f{x) suivant les puissances des-
cendantes de X de sorte que
X X
alors les termes qui contiennent x en dénominateur sont
nuls pour x = 00 et l'équation de l'asymptote est
y = ««*"' + «i»-!^""* H f- «i^p + «0 ,
c'est-à-dire une courbe de degré quelconque.
Le cas le plus important dans les applications est celui
où l'asymptote est une ligne droite, où l'équation précé-
dente se réduit à
Dans ce cas, on peut encore, au moyen de l'équation de
la courbe, déterminer les coefficients a, et Ou de l'asymp-
tote, sachant d'après la théorie que, pour x = oo ,
y
Oi ^=3 limite de *-»
X
tto = limite de (y — ajx).
Enfin, en considérant l'asymptote rectiligne comme
limite des tangentes, ou peut, après avoir obtenu l'équation
de la tangente à la courbe, déterminer ce que deviennent
I^abscisse et l'ordonnée de cette droite à l'origine quand
X «> 00 ; éléments suffisants pour fixer la position de
l^asymptote et parvenir à son équation.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. i7i
Comme applications des moyens que Ton emploie pour
trouver les asymptotes rectilignes des courbes, on démontre
dans les cours les propositions suivantes :
1. Quand Téquation d'une courbe peut être mise sous
la forme
^^ (â "'■ "'"'^ (x) "'"'"''^ (x) "*■ '^*^' ^ ^' (^>w>p,elc.)
les valeurs limites de -, c'est-à-dire celles de at, sont les
M*
racines réelles de l'équation (p(ai) =» 0, et l'on a
Que si if (ai)= et cp' (ai) -= 0, les valeurs de Oo sont four
nies par l'équation
2. Quand l'équation d'une courbe de degré m est rame-
à la forme
y(x) y" + ^(x) 1/"-* -}- x(a:) y""* + etc. = 0, (ii<m)
les racines réelles de l'équation (p(x) »- déterminent tou-
îours, si elles n'annulent point ^(x), les asymptotes paral-
lèles à l'axe des y.
3. Étant donnée l'équation des courbes polaires
f (0 r- + * (0 r--* + %(0 f— ' + etc. « 0,
Téquation 9(a) =» détermine, par ses racines réelles, les
directions des asymptotes et l'on a
lira. r(< = a) = — -.
? (a)
/
in EXERCICES MÉTHODIQUES
EzeHiple I.
Soit proposé de trouver les asymptotes de la courbe dont
l'équation est
X* — y{x — a) ==» 0.
Cette équation peut s'écrire
a;»
X — a
et Ton voit que J? = a donne y = oo , Donc la courbe a
d'abord une asymptote rectiligne parallèle à l'axe des y c^
dont l'équation est
x = a.
En effectuant la division de x^ par x — a, on obtient
X X
c'est-à-dire y développé suivant les puissances descendant- ^
de X.
Donc la courbe proposée a une asymptote paraboliq
dont l'équation est
y = ac* + ax -{- o*
ou
Kzemple II.
Chercher les asymptotes des courbes du deuxième degr^«
renfermées dans l'équation générale
A^' + Bxy + Cx» + Dy + Ex + F « 0.
En réunissant dans un seul les termes du deuxième
degré et dans un seul ceux du premier, l'équation peut
s'écrire
,.(Ag+B^ + G) + .(D^ + E)+F = 0.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL 173
valeurs de ai sont donc les racines réelles de l'équa-
— Bdrl/B*— 4AC
:lans Tellipse, B*--4AC est négatif, ce qui donne
eurs de Oi imaginaires. L'ellipse n'a donc point
ptoles.
ensuite
Da, -fE
2Aa, + B
conséquent, pour équation des asymptotes,
t/ =3 a.x 9
^ 2A(i4-fB
n dans laquelle il faudrait remplacer ûi par ses
la parabole, B* — 4AC = et les valeurs de ai se
nt à une seule, ai = — ^, Or, pour cette valeur
?i dernier terme de Téqualion de l'asymptote devient
Donc l'hyperbole est la seule courbe du deuxième
ui ait des asymptotes.
Rxeniplo III.
on d'une courbe dont il faille chercher les asymp-
lation de la tangente à la courbe est
y -y= — 5^ — (^ —')'
i74 EXERCICES MÉTHODIQUES
En posant x' = 0, on trouve pour ordonnée à l'origine
de cette droite
2ax* + 5x' 3 (y' — ^) — îax*
^'-^--^^ — ^^ •
et, en faisant î/'= 0, on obtient pour abscisse à l'origine
3v* 2ax* — 3(t/*— X»)
X == X —
2ax + 3x* 2ax + 3x^
Les expressions précédentes, à cause de t/* — x* c= dit*»
valeur tirée de l'équation de la courbe, deviennent
a X* , ax* a
r' = et x' =
3 t/'^ 2ax + 3x* 2a ^
Or, pour X = 00 , on voit que
tt ^ a
et que d'ailleurs, y étant égal à oo quand x-=oo, la frac^
tion ~ a pour limite 1, d'où limite g • ^ = |.
L'ordonnée à l'origine de l'asymptote est donc |, l'ab»-^
cisse à l'origine — - 1 et, par suite, l'équation de l'asymptote
_-)--=i ou y = x + -.
a a ù
droite faisant un angle de 45*> avec l'axe des x.
Exemple IV.
L'équation d'une courbe étant
f/*— x* + 2ax'y = 0,
déterminer les asymptotes.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 175
Posant / „ , y , y \
y = xz,\ ci OU z = - et lim. - = lim. z ,
réquation devient
xV — X* -f- 2flrx*;r = ou X2* — x + 2az==0.
D'où 2a2 2a«*
X ^rz j et, par suite, y =
1—2* ' • -^ 1—2*
expressions qui font voir que les valeurs de x et de t/
deviennent infinies quand ;s = ± 1. On a donc d'abord
y
lim. - = tti = zfc I .
X
D'autre part, l'ëquation de la tangente à la courbe pro-
posée est
2x' — 2axy
ce qui donne, quand x' = 0,
2 (y* — X*) -f- 3aa:*v aa*y
y =
^^ + ox* 2y» + flx*
en vertu de l'équation de la courbe.
En remplaçant y par x%^ on a donc pour expression de
l'ordonnée à l'origine de la tangente
, ax^z az
^ "" 2x V + «x* "" I'
2«» + -
X
et, pour celle de l'asymptote correspondante à x = oo , et,
par conséquent, à ;s = zfc 1,
a
L'équation des asymptotes est par conséquent
a
y«==tx
2
Le procédé particulier employé dans cet exemple peut
souvent être suivi.
/
476 EXERCICES MÉTHODIQUES
Rscmple T.
Supposons qu'il s'agisse de voir si la courbe représentée
par réquation
a des asymptotes parallèles à Taxe des y.
Ordonnée par rapport h y, celte équation est
(x* - i)y + (2a:* +\)y^ — x' — \^0
et les racines réelles zt 1 de Féquation
X*— I =0
n'annulent point 2a;' -j- 1.
Donc la courbe proposée a deux asymptotes parallèles à
l'axe des y, renfermées dans l'équation double x = db 1-
Exemple 1^1.
L'équation de l'hyperbole rapportée à un de ses foyers ost
6
a
r = , c étant égal à l^a* -f- b*.
a — c cos (
En l'écrivant
(a — c cos t)r — fc* = 0,
l'équation
a — c cos a =
détermine les angles des asymptotes avec l'axe polaire.
On a donc pour ces angles
a
cos a = - •
c
D'autre part,
lim. r(t — a) = : »
c sin a
et, en remplaçant sin a par sa valeur -,
lim. r(( — a) = 6,
distance des asymptotes à deux droites parallèles menées
par le foyer.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 177
MSaDeê'cieeê»
1 . (a- - X-) y^ = (a^ + x^) x\
Deux asymptotes parallèles à l'axe des y :
X = dz a,
2. flx^ -|- ar'^iy — a^' = 0.
Asymptote parallèle à Taxe des x :
t/ = — a.
5. (a -(- 6 + x) y = c(6 + x).
Une asymptote parallèle à Taxe des y :
x = — a — 6,
et une autre à Taxe des x :
4 (x -j- a) y* = ar -|- 2a.
Une asymptote parallèle à l'axe des y :
X = — Qf
et deux autres parallèles à l'axe des x :
L'équation de l'asymptote est
y = — a;,
droite qui fait avec l'axe des x un angle égal à -y
C5 sin X
^ X
L'axe des x est asymptote à cette courbe et celle-ci passe
ï^Uernativement d'un côté et de l'autre de son asymptote,
lusqu'à ce qu'elle lui devienne tangente à l'infini.
i. t/=»sm--
^ X
L'axe des x est asymptote.
12
478 EXERCICES ^MÉTHODIQUES
8. (a: + 1)y-='(x — i)x.
En procédant comme dans l'exemple II, on trouve pou
équation d'une asymptote :
y = X — 2.
Asymptote parallèle à Taxe des y; x = — 1.
9. (x — 2) y = (X — 1) (x — 3).
Equation d'une asymptote :
y — X + 2 = 0. (Exemple II.)
Asymptote parallèle à Taxe des y ; a; = + 2.
10. y« = cos^
X
Deux asymptotes parallèles à Taxe des x ; y = ± 1.
x'^ — 3ax-+ a'
' ^"^x^ — 36x +26^
Deux asymptotes parallèles à l'axe des y :
X = 26 et X = 6.
Une troisième asymptote :
y = x — 3(a — 6).
On la trouve par développement. (Exemple I.)
12. —4—,^ ^-^ ^ • (Conchoïde.)
y* -f- X* m*
Asymptote parallèle à l'axe des x ; y = b.
1 3. xy* — y = ax' -f- 6x' + ^^^^^ + ^»
L'axe des y est asymptote et, en procédant comme da
l'exemple II, on trouve les équations de deux autres asyn
totes :
2l/â
V == — X Va
21/^
14. i/ =
DE CALCUL niFFÉRKNTIEL. iTi)
X — a
Par développement de i/*, comme dans l'exemple I, puis
extraction de la racine carrée du résultat, on trouve que
y = dz (x H- a)
est l'équation de deux asymptotes se coupant à angles
droits.
Autre asymptote, x = o.
15. i/* — 2xy — X * + 2axt/* — Sax' = 0.
Le procédé suivi dans l'exemple II fournit aisément :
a 51/2 — 4
e^==4,x|/l+l/2+-. ^
^ i/7+vï
i/7TT7i rt 31/2—4
^ i/r+vi
pour équations de deux asymptotes.
16. (x*— 1)y=(x'' + i)x.
Deux asymptotes parallèles à l'axe des y :
X = db 1 ,
et une autre, y = x, que l'on trouve facilement en opérant
comme dans l'exemple II.
17. i/^ — ax* + a^=.0.
V = — X + -
est l'équation de l'asymptote. (Exemple IV.)
18. y^ — 3axy -{- x' == 0. (Folium de Descartes.)
En opérant encore comme dans l'exemple IV, on trouve
pour équation de l'asymptote
]/ = — X — a.
180 EXERCICES MÉTHODIQUES
1 9. OX* — 6t/* + àxy = 0.
Même procédé que dans les deux exemptes précédeni
donne
y - (3*^
pour équation de l'asymptote.
20. aj/' — 6a;' + c^xy = 0.
Le même procédé fournit pour équation de l'asympti
^^^ V 3a'6V
a sin^ t
21 . r = (Equation polaire de la cissoïde.)
cos t
On trouve (exemple VI)
TT
a = dz -> ^=s ± a;
2
équation de deux asymptotes.
22. x' — xy + a' = 0.
Asymptote parabolique :
y = x\
23. X* — y* + a*xy = 0.
En posant y* =zy^^ l'équation fournit
yi = a* + ^ • û^yiS
et, en développant t/i* par le théorème de Lagrange,
trouve pour asymptote hyperbolique
V = XH »
^ ^4x
et pour asymptote rectiligne,
t/ = x.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 481
Deux asymptotes hyperboliques :
CHAPITRE XIII.
POINTS SINGULIERS DES COURBES PLANES.
I. — Points d'inflexion.
Soit y = f{x) ou F(a;, j/) = l'équation d'une courbe
plane.
Les coordonnées des points d'inflexion sont les couples
de valeurs réelles de x et y satisfaisant à la fois à l'équation
de la courbe et à l'une des suivantes :
!• si, pour deux points de la courbe situés de part et d'autre,
niais à des distances inflniment petites, de celui qui est
déterminé par chaque couple de valeurs» ^ a des signes
différents; 2° si, pour ces mêmes valeurs, ^ n'est pas nul.
Quand la première condition n'est pas remplie, il n'y a
pas de point d'inflexion ; quand ^ = 0, les points d'in-
Bexion sont déterminés par l'équation de la courbe et l'une
des suivantes :
d'y _ d'y __
rfx* * dx'
Et ainsi de suite.
182 EXERCICES MÉTHODIQUES
Lorsque Téquation de la courbe est donnée en coordon-
nées polaires, les points d'inflexion sont fournis, et par
l'équation de la courbe, et par
]) représentant la perpendiculaire menée du pôle sur la
tangente.
11 n'y a inflexion que si ~ change de signe en passant
par 0.
Se rappeler que p =
f^
P+01
Kiemple.
Déterminer les points d'inflexion de la courbe
è étant > Oet a = 0.
De réquation proposée, on tire
dy 2a + 36x
d^-y _b(ia + Ux)
^' ^a + 6x)«
d'y 36* (2a + bx)
«^ S(a + bxy-
Les points d'inflexion, s'il en existe, seront donc déter
minés par les équations
4a + 36x= 0,
y- == ax^ + 6x^
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL 483
l)*où les couples de valeurs
Àa ^ûiy
4a Àa , y
X = et v==+-- V— 3a . . . (2).
Quand a > 0, les valeurs de y sont imaginaires et la
courbe n'a pas de points dMnttexion.
Quand a = 0, les deux couples de valeurs précédentes
se réduisent à x = 0, ^ = ; mais ce n'est pas là un point
d'inflexion, parce que ^ qui, dans ce cas, est — i, devient
imaginaire pour des valeurs de x plus petites que 0.
Mais quand a est < 0, les valeurs de y sont réelles et
1** le ^ change de signe pour des valeurs de x un peu
plus petites et un peu plus grandes que — ^r 2° le ^
n'est pas nul pour cette valeur de x.
Donc la courbe a, dans ce cas, deux points d'inflexion
dont les coordonnées sont les couples de valeurs (1) et (2).
1 . y =a ces mx. (m positif.)
Cette courbe a une infinité de points d'inflexion situés
sur l'axe des x et dont les abscisses sont
n Stt Stt (2«-{-1)fr
2m 2m 2m 2m
w étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif.
2. Déterminer la distance entre deux points d'inflexion
consécutifs des courbes y = sin?nx et j/ = tangpx. (m etp
positifs.)
La distance cherchée est
/i i
nn [
\m Pi
H étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif.
484 EXERCICES MÉTHODIQUES
ax
5. y = e
Un point d'inflexion :
1 *
2a
^=^' y=-i'
4. Si Ao:^ + B^* + (ir + D = (1) n'a que des racines
réelles, la courbe dont l'équation est y = Aa;'+ Ba:'*+ Ca:+D
a un point d'inflexion dont l'abscisse est le tiers de la somme
des racines de (1).
En effet, si l'on désigne par a, b, c les racines réelles
de (1), la courbe peut être représentée par l'équation
y = (x — a) {x — 6) (x — c),
et l'on trouve facilement que cette courbe a un point
d'inflexion dont l'abscisse est
a4-b-\- c
x =
5. a^ — axy — b*y = 0. (Trident de Newton.)
Point d'inflexion à l'origine.
6. x/ + ttx* + 6' = 0.
Si a et 6 sont de même signe, la courbe a deux point-
d'inflexion dont les abscisses sont
X
6\/|(3+VÏ^.
Si a et t sont de signes contraires, deux points d'inflexion
dont les abscisses sont
x=zh6\/^(D-l/Ï2).
(Cramer.)
7. a"t/ = x"+*.
Point d'inflexion à l'origine; double, si w = 2; triple, si
w =r 3 ; etc.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. d85
8. y = (ax + b){ax^bl (? < i
Deux points d'inflexion :
6
a ^
a p-^-q p + q\ p + g^
a'
9. r'=--
On a
^r r^ 2aV dp 2a*(4a*— r*)
I Tr= — r-rcl, par suite, » = el--= -^»
En posant •^= et joignant à cette équation celle de la
courbe, on trouve qu,'au point r = 2»a et f =i, il y a
inflexion.
i O, 1* = a* ces 2f. (Lemniscate de Bernoulli.)
dr [/a^—r*^ r' dp 3r*
D'où l'on trouve que l'origine est point d'inflexion des
d.eux branches de la courbe.
il. y^= a — 6 cos (,
. . (Equations de la trochoïde.)
X »= a( — 6 sin (.
rf*V 6 (a cos t — 6)
On a —^= -: .
dx* (a — 6 cos tf
D'où, en égalant à cette dérivée seconde,
b . a^ — 6*
cos ( s= - et, par suite, y =
a a
pour les coordonnées du point d'inflexion.
lh« EXERCICES MÉTHODIQUES
II. — Points multiples.
Soient F(x,t/) = [\)
réqualion algébrique et rationnelle d'une courbe et
^-==0, — =0 (2)
dx dy
ses dérivées premières par rapport à x et à i/.
Les coordonnées des points multiples sont les valeurs
de a: et t/ satisfaisant à la fois aux équations (1) et (2).
Les valeurs de ^ pour chaque point double, si toutefois
on n'a pas ^ = 0, ^ = 0. |^ = 0, sont fournies par
la dérivée deuxième de Téquation de la courbe, dérivée qui,
à cause de la seconde des équations (2), se réduit à
dy^ \dxl dydx dx dx^
Pour un point triple, si toutefois on n'a pas^ = 0,
5^ = 0. S^ = 0. ^' = 0. 1«« valeurs de % soJ four-
nies par la dérivée troisième de (1) dans laquelle on aura
Et ainsi de suite.
Quand l'équation de la courbe est explicite et renferme
des radicaux à double signe, on détermine les points multi-
ples en cherchant les valeurs de ^ qui font disparaître un
des radicaux sans le faire disparaître de ^ . L'équation de la
courbe fournil ensuite les valeurs correspondantes de y.
On peut aussi rendre rationnelle l'équation de la courbe et
suivre la règle indiquée plus haut.
La multiplicité présente différents cas :
!• Si les valeurs de ^ sont réelles et différentes, le
point multiple trouvé est un point multiple proprement dit.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 187
2<> Si les valeurs ^ sont réelles et égales, et qu'en faisant
varier x ou y des deux côtés du point considéré, les
ordonnées ou les abscisses de la courbe soient réelles d'un
côté, imaginaires de l'autre, le point multiple est un point
de rebroussement. Le rebroussement est de premier genre
quand, au point que l'on considère, le ^ a des signes
différents pour deux branches de courbe ; du second genre
s'il a le même signe.
3° Si les valeurs de ^ sont imaginaires, le point mul-
tiple est dit isolé ou conjugué.
K&oniplo I.
Soit la courbe représentée par l'équation
F = y* + X* — 2(1 1/^ + Uxhj == 0.
La dérivée première de l'équation est
(2t/' — oay* + bx') -l-\-^x^ + %xy = 0.
dx
En égalant à les dérivées premières de F par rapport
à :r et î/, on a donc
x(x* + 6t/) = 0,
2^' — Zay^ + 6x* = 0.
Ces équations étant satisfaites, ainsi que celle de la
courbe, par les valeurs réelles ic = 0, t/ = 0, ce point est
multiple.
Mais on a
rf*F
= 4(3x^ + 61/),
dx'
d*F
dxdy
ï= 46x,
rf*F
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. i89
double qui sera de rebroussement si, en ce point, les deux
l)ranches de courbe ont une tangente commune. Or, on a
dx a- 2^ ^
et l'on voit que, pour x = a,y=:b, les valeurs de ^ sont
toutes deux dy 26
dx a
Donc le point double est de rebroussement. On a encore
d*y 26 5 3
— ^ =- — it (x — a)*,
dx" a" 2 2^ ^ '
et, pour toute valeur de x un peu plus grande que a, les
deux valeurs de ^ sont positives. Donc le rebroussement
est du second genre.
Exemple III.
Soit encore la courbe dont Téquation est
¥ = ay^ — x^ + bx^^O.
La dérivée première de cette équation est
2oy -^ — Sx* + 26x = 0.
dx
En égalant à les dérivées premières de F, on a donc
x (3a: — 26) « 0.
Ces équations, ainsi que celle de la courbe, étant satis-
faites, pour les valeurs réelles a? = 0, t/ = 0, ce point est
multiple, et, comme les dérivées secondes de F ne sont
point nulles pour les valeurs trouvées, la dérivée seconde
de l'équation de la courbe fournira les valeurs de ||. Cette
dérivée est
"iïf-'^ +"-'■'
i% EXERCICES MÉTHODIQUES
d'où dy
ÎÎ2_±% Ax — b
et, pour X = 0, des valeurs de ^ imaginaires. Donc l'ori-
gine est un point isolé ou conjugué.
(Cramer.)
1 . (a- + y*i^ + ^a^i/ — x^) = 0. (Lemniscate.)
L'origine est un point double et les tangentes en ce point
sont bissectrices des axes.
2. y'^ «= ax^. (Développée de la parabole.)
Point de rebrousseinent du premier genre à l'origine.
La tangente commune est l'axe des abscisses.
5. ^* = aa;^ -j- 6x1 (a et fr positifs.)
Point double à l'origine. Coefficients angulaires des
tangentes en ce point : ~ = zfc \/a. Donc, tangentes éga-
lement inclinées sur Taxe des abscisses.
4. y(a — X) — r» = 0. (Cissoïde.)
Point de rebroussement du premier genre à l'origine. La
tangente commune est l'axe des abscisses.
5. x^ — 3axi/ ^ î/5= 0. (Folium de Descartes.)
Point double à l'origine. Axes tangents aux deux branches
de courbe.
G. (i/ — xV = Jc(x — a)^
Point de rebroussement du premier genre : x = a, y=a'.
Le coefficient angulaire de la tangente commune est
dx
DE CALCUL 1>IFF1<!KENTIKL. 191
Point isolé à Porigine.
8. x^ — 3aV- + ^if — Zay- + a' = 0.
Point double : x = 0, y = a.
. ày ?
En ce point, -^ = zb û*.
dx
9. aY' — 2o*x'y + o'x' — x' = 0.
L'origine est un point de rebroussement du premier
genre ; Taxe des abscisses, la tangente commune.
10. y = ifc (x — a) l^x — 6. (a < 6).
Point isolé : x = a , y =» 0.
i i . y = ± (x* — a* l/x
X
Point double : x = a, y = — î2a*.
ax ^ ^
\
12. X* — ax*y + axy- -| — a*y* = 0.
Rebroussement du second genre à l'origine. L'axe des
abscisses est la tangente commune.
-13. y* + x = x(x— 1)*.
L'origine est un point isolé.
1 4. X* - 2ax' l/i + 2tt V — axf — ay = 0.
dy /—
L'origine est un point double ; -^ = zfc k 2.
dx
15. y*=6x' — ax*.
Point isolé à l'origine.
4912 EXERCICES 3IÉTH0DIUl'ES
iC. La cycloïde a une infinité de points de rebrouî
ment du premier genre dont les coordonnées sont
^ = 0, x = 2/i(ï7r;
n étant un nombre entier, positif ou négatif.
s s i t
1 7. aV + 6V = c^ (Développée de l'ellipse.)
Quatre points de rebroussement du premier genre :
c* dy
c* dy
x = + -, y = 0; / = 0.
a ax
x = , t/ — 0; / = 0.
a ax
18. xy" + x*î/ -f- X* — y* + 3x + 3i/ = 0.
Deux points doubles :
x = 3, ;y= —3; -^=±1.
ax
ax
19. X* — 2at/' — 3a*j/* — 2a*x* + a* = 0.
Trois points doubles :
x = a, t/ = 0; -^=zb(-
ax \3;
(Cramer
dx
■.^V
dx
•v
dy
dx
= ±l/2.
DE CALCLL DIFFÉRENTIEL. 493
^oint triple à l'origine :
îï^ = + i, î^= — i,. ^ = 0.
dx ^ dx ' dx '
y'-\-x' — î2oV — 2ay + a' = 0.
}uatre points doubles :
0,
•' (/x
1/* — axy^ + X* = 0.
■^oint triple à l'origine. — Deux branches de courbe,
Ht pour tangente commune l'axe des x, forment un
Ht de rebroussement du premier genre. L'axe des y est
gent à la troisième branche.
(x* -j- yy — AaVy^ = 0. (Rosace à quatre branches.)
L'origine est un point quadruple. — La courbe se
npose de quatre folioles à chacune desquelles les axes
> X et des y sont tangents.
t/*+x*— 26x't/=0.
L'origine est un point triple. — Deux des branches de la
irbe, ayant l'axe des y pour tangente commune, forment
point de rebroussement du premier genre ; la troisième
inche a pour tangente l'axe des x.
, 3c' — ay*+ ^bx^y + b^xy^ = 0.
Point triple à l'origine.— Deux des branches de la courbe,
ant l'axe des x pour tangente commune, forment un
13
1»4 EXERCICES MÉTHODIQUES
l>oint de rebroussement du second genre; la troisiè
branche a pour tangente Taxe des y.
26. x' + 2aVy — h^ = 0.
Point triple à Torigine. — Deux branches de la cour]
ayant l'axe des x pour tangente commune, forment
point de rebroussement du second genre ; la troisièi
branche s'infléchit au point triple et sa tangente est au
Taxe des -r.
27. x»=ax' + 6x*y + fx*/ + i/x/ + cy . . . . (
En posant y = lu*, Féquation devient
Cette dernière équation représente une courbe du qi
trième ordre coupant Taxe des ordonnées en autant
points que l'équation
a de racines réelles. La courbe (2) construite, il est fa(
de construire (1). Si les quatre racines de (3) sont réel
et inégales, l'origine est un point quadruple. — Cherc
quelle est la nature de ce point si les racines sont égal
imaginaires, deux réelles et deux imaginaires, etc.
(Cramer.
28. a • = aa» + 6x*^ + cxy + dxY +exy* + fyK
Point quintuple à Forigine. — Solution semblable à c
du numéro précédent.
m. — Points d'arrèi et points saillants.
Soit ^ = F (x) réquation explicite d'une courbe.
On détermine les coordonnées d'un point d'arrêt
cherchant, parmi une suite de valeurs de x donnant
valeurs de y réelles, quelle est celle à partir de laqu
y devient brusquement imaginaire ; Téquation de la cou
fournit la valeur correspondante de y.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 495
Pour déterminer Tabscisse d'u n point saillant, on cherche,
parmi une suite de valeurs de .f, celle pour laquelle F' (x)
change brusquement de valeur. L'équation de la courbe
fournit ensuite Tordonnée du point.
Exemple 1.
Soit la courbe dont IVquation est
I
!/ =
log .r
Pour des valeurs positives de x de plus en plus petites,
les valeurs de y sont réelles ; mais à partir de x = 0^ y
devient brusquement imaginaire. D'ailleurs, quand x==0,
î/ = 0. L'origine est donc un point d'arrêt.
Rxeniple II.
Soit la courbe représentée par l'équation
I
y = X are tang -
X
I X
On a F'(x) = arc tang -
X I + X*
La limite des valeurs positives et décroissantes de x est
F'(x) = -.
Celle des valeurs négatives et croissantes de x est
F7x)=— -.
D'ailleurs, quand x == 0, // = 0. Donc l'origine est un
point saillant.
i
I. y = '''-
Point d'arrêt à l'origine.
mi EXERCICES MÉTHODIQUES
X
2. t/= -'
Point saillant à Torigine.
3. y = -,•
Point d'arrêt : x = 0, i/ = 1.
4. y = X log X.
L'origine est un point d'arrêt.
5. .v + l=a ', (a>J).
X = 0, 1/ = — 1 sont les coordonnées d'un point d'ar
6. ly — X arc lang -I — ar* cos^x = 0.
Point saillant à l'origine.
CHAPITRE XIV.
COURBURE DES COURBES PLANES.
Section ï. — Rayons de courbure.
L'expression du rayon p de courbure des courbes pi
est
l'^ En coordonnées recti lignes,
P =
hm
X et y étant les coordonnées courantes et x la va
indépendante;
DE CALCUL DIFFÉBENIIKL. 197
coordonnées polaires,
. . . . (2),
int le rayon vecteur, t l'angle polaire pris comme
indépendante.
^présente la perpendiculaire menée du pôle sur la
, on a
dr
p — r ■- — (")•
dp
Exemple I.
quation de la chaînette
dy \ I t -'-\ d^u y
dx ^\ I dx" a*
ituant dans l'expression (1) ces valeurs de ^ et de
obtient
[
1+- e--e "
f
s
a
Kxemple ■■•
la spirale hyperbolique dont l'équation est
a
r = -»
r.w
liXtHClCES MÉTHODIQUtb
on a
(ir
dt
a
: »
a
d*r
rf/*
2a
2r'
0'
La substitution des ^
râleurs de
ces dérivées dans X
ex^
sion (i) fournit
s
P
("
III.
La spirale logarithmique a pour équation
IVoù dr I
dp m
En vertu de réimpression (3), on a donc
r
I . jry — K (^H yperbole rapportée à ses asymptotes
%
Si «i«<t^' *•*
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 4^
a
X
y =-l/aar — X».
3
4ki
^^ 2oV(5a — ix)
alog
_L £. — \/a^ «. y*. (Tractrice. )
(I
c/iy 1/6* — (a — t/)* (Équation différentielle de la
dx V trochoïde.)
3
«(« — y) — t*
Si a = fc, p = 2 V^ay\ rayon de courbure de la cycloide.
1 1
wx' -}- «y' = qf.
îw/iqf \ /
l^our trouver le rayon de courbure de Thypocycloïde
^nt l'équation est
111
X» 4- t/' = 0%
suffit de faire dans (1)
m «=s 1 , n = 1 , q ^a!'.
On trouve ^ = 3(oxy)'.
^'équation de la développée de Tellipse est
11 11 >
^n faisant m = a', n =- b\ 5 = c*, dans Texpression (1),
^l'ouve pour le rayon de courbure de cette développée •
4 3
'%[l>^.^ + ay
oW
200 EXERCICES MÉTHODIQUES
La développée de l'hyperbole a pour équation
a V — 6y = (a» + 6Y
En faisant m = a^n = — fc* et g = (a* -|- fr*)', on trouve
pour le rayon de courbure de cette développée
H^y)
3 f i ï * * \ *
' 1
7. r = a sin 2(. (Rosace à quatre branches.)
5
_ (4a* - 3r')*
8. r = a + 6 cos (. (Limaçon de Pascal . )
s
__ (o* - 2ar - 6T
'^ "~ 2a* ~ 3ar — 26*
9. r = a [l + 1/2 (i --cos(j]. (Linaaçon bi-foliacé.)
s
_ -I (or * + 2ar + 5a')*
^ ~ 2 "3r* + 3ar + 6a* '
(Equation des courbes du deuxième
i 0. r = degré, ;? représentant le paramètre
i — ecosi et e l'excentricité.)
3
/ c*/-* sin* A*
Si l'on désigne par a le complément de l'angle du rayon
vecteur et de la tangente, on a
er sin /.
lang a ==
P
D'où l'expression très simple du rayon de courbure :
_^ P
COS^a
(•) Je ue crois pas que cette courbe soit connue. Sa construction et sa forme
ont beaucoup d'analogie avec la construction et la forme du limaçon de Patcal.
Elle présente deux folioles Je proposerai de l'appeler le limaçon bi-foliacé.
E. B.
p =
DK CALCUL DIFFÉRKiNTlKL. 201
hr (Equation des spirales de Côtes, p dési-
/n* 4- r*^* gnant la perpendiculaire menée du
pôle sur la tangente.)
rià' + ry
p^ = — ^ • (Epicycloïde.)
c* — a'
c« — a*
Section 11. — Développées.
Soient x et y les coordonnées courantes d'une courbe
^portée à des axes rectangulaires, a et P les coordonnées
centre de courbure, on a
^\dxl dxj
^'-^^^ -z 7-»
art/ ax
dx'
'+(1
»-^ — 5—
dx'
pour obtenir Téquation de la développée de la courbe,
suffit d'éliminer x et y entre les équations précédentes et
lie de la courbe. Quand l'élimination est laborieuse ou
ipossible, on se contente de chercher Téquation différen-
ille de la développée en remplaçant x et y par leurs
leurs en fonction de a et de ^ dans l'expression
doL dy
dx
{') Voir un autre moyen de trouver les développées, exercice 14 des lignes
veloppes.
im EXERCICES MÉTHODIQUES
Si p et r sont les coordonnées courantes d'une courbe
rapportée à des coordonnées polaires, p' et r' celles de la
développée, p le rayon de courbure, on a
dr
dp
p" = r* — p\
et, pour obtenir Téquation de la développée, il suâSt
d*éliminer r, p et p entre les trois équations précédentes et
ci*Ue de la courbe.
Suit à chercher la développée de la parabole y* = 2pa:.
0«etle 4LV|ualion fournit
^ = ? el ^= — ?-*
dx y dx* y*
Ou » donc
doit ■ — m
' = ^-
t
;W AtH^sv^^ >*V i> .V^ i«Vk*vX
DE CALCUL DIFFÉRENTIKL. !203
Exemple II.
L'équation différentielle de la chaînette est
dy \/y^ — a« ^ d^y y
— = — ; d ou — — -=^ — •
dx a dx* a*
On a donc
'+©" '+'-^
2/ — P = ^5 — = = — yî
rfx* a
s
d'où p
La relation
^ = 2*
da dy
dx
fournit, en remplaçant ^ par sa valeur,
dp a
da l/j/* — a*
et, en substituant à i/ sa valeur,
équation différentielle de la développée de la chaînette.
Exemple lll.
Soit à chercher la développée de la spirale r = ai*.
L'équation de cette courbe peut se mettre sous la forme
P= -
1^1 + log a
"lOA EXERGIGBS MÉTH0DIQIK8
D'où dr , y-—-
/) = r — ==rl/^l +Ioga,
f * r* loff a
p'* = r* — f;* = r* - ^
r'* = r« + /)' — 2/»p = r* + j *(l + log a)
r
— 2r l/i + log a • =a r* log a.
l/i + logo
Par suite, ■— = ; : r* log a = -—
r'* i+loga ^ 1+loga
- » _ ^' (Équation de la développée. — Spirale
[/{ _L. jog o semblable à la proposée.)
i. XI/ = 1. (Hyperbole dont la puissance est Tunité.)
L'équation de la développée est
2. 5i/* = x'. (Parabole semi-cubique.)
8i ^* = 1 6(2 dr V I — Ga)* r± l/|— 6a — 1
est l'équation de la développée.
3. ï^+|^«:|. (Ellipse.)
Développée
{aTif + (6p)^ = (a* — 6*f .
En changeant ben b v—-\, on trouve que la développée
de l'hyperbole est
(a«)^_(6p)-^«=(a*+6V,
et, en taisant ^ = a dans cette dernière équation, on obtient
pour développée de l'hyperbole équilaière
* 1
.3 oS
a=^ — p* = (2ay
DE CALCl'L OIFFÉRENTIEL. ioo
i t t
i-. a' + y'-=a'. (Hypocycloïde.)
Développée : (a + ^f + (« — pj^ ■= 2a*.
3. -^ = \/-î! — ^ étant réquation différentielle de la
ax ▼ y
cycloïde, chercher celle de la développée de cette courbe.
Dn trouvera
dp P
6. Chercher Téquation différentielle de la développée de
la Iractrice, celle de cette courbe étant
dy y
dx l/^TZ^
On trouve pour l'équation cherchée
c/a a
7. y==ae". (Logarithmique.)
L'équation différentielle de la développée est
8. p^=r^' — a\
La développée est un cercle.
9. ;>* = -i- -!. (Epicycloïde.)
c — a
La développée est
"(-7:)
p'* = — ^ ;; — , autre epicycloïde.
i(/^> KXKKCICES MÉTHODIQIES
CHAPITRE XV.
SURFACES.
Soient z = / (a;, y) l'équation de la surface ; x\ y\ %' I ll-J^c s
coordonnées courantes \ x^y^z celles du point de contacz^ et
du plan tangent. Les éléments principaux de la surface s -^^e
déterminent au moyen des expressions suivantes, dan-^cns
lesquelles
dz dz
dx dy '
Plan tangent,
z'-z==p(x'-x) + q{y'^y) . . . (iC >
Xormale.
x' — X y' — y z' — z
- . . . (2)<: -)•
Cosinus directeurs de la normale. — En représentanr M^^
par a, p, y les angles de la normale avec les axes ou le^ ^^^
angles d'inclinaison du plan tangent sur les plans coordon — -^^'
nés et posant k = l/l +p* + 5*, on a
COR a cosfi cosy i ^ \
'~V — 7 * ^^
Distance de rorigine au plan tangent. — D représentant* -^^
cette distance, on a
^= — ^ — W-— ^•
Hayons de courbure piHncipaux. — En désignant par p le
rayon de courbure et posant
à^z d*z dFz
(/a* dxdy dy*
les rayons de courbure principaux sont les racines de
ré(|ualion
{r( - N*) r- ^ Lll +'y*) ' -2p7« + (« +P')Q /^+/r*=0 . (5).
DE CAIXIL DIFKÉRENTIKL. :207
Lignes de courbure, — L'équation différenlielle de la
projection des lignes de courbure sur le plan des xy est
[(I +7V~P9/](~)' + [(1 +7*)r-(l +p^0^
— (i +/;*)« +pqfr = (6).
Ombilics, — Ils sont fournis par les équations
r .s t
combinées avec celle de la surface.
Si l'équation de la surface est de la forme
F(x,t/,z) = 0,
Itïs éléments principaux se déterminent plus facilement au
xxioyen des expressions suivantes :
Plan tangent,
^ c/F , , dF , dF
(-'— )^ + 0/-^);^ + (^'-^)^ = 0. (8).
.\o7^male.
x' — X y' — y z' — z
dF dF
dF
dx dy
dz
Cosinus directeurs de la normale.
cosa 008 p rosr
1
(9).
dF dF dF zfcR
dx dy dz
n désignant par R l'expression
(10),
VI
dxl ^ \dyl ^ \dzl
Distance de l'origine au plan tangent.
dF dF dF
dx ^ -^ dy * dz
D = ^ . . . .(11.
!208 EXER<:iCES MÉTHODIQUES
Hayons de courbure principaux. — Ils sont déterm inè
par réquation
"•h")(»-7)+-(«-ï)(.-î) + w.(.-!)C.-
-- 2u'VW lu — -j — 2u'UW (v — -j —gw'UV [w — -
— U*m''— V*i?'«— W*M?'*-f-2VWi;'M;'+2UWiiV+2UVMV=0ffS
dans laquelle
rfF ,^ (/F , . c/F _ ef*F d»F d'F
ajT ay rf^ rfa* rfy* rf;^*
^'F , (PF rf*F
dydz dxdz dxdy
Points singuliers. — Les coordonnées de ces poiîî^s
doivent satisfaire aux équations simultanées
;^ = 0, ^0, -p-=0 . . . 13)
ox ay ffz
et à celle de la surface.
En désignant par (w), (r), (w;), (w'), (v')» C"'') ce qi^®
deviennent u, v, iv, ti\ v\ tv' pour les coordonnées du poîï^^
singulier, Téquation du lieu de toutes les lignes tangent^^
en ce point est
{u)x^+(v)y^+{w)z'+^u')yz+^{v')xz + ^w')xy^O (I ^)'
Remarque. — Si Féqualion de la surface consiste da^^
une fonction homogène du n*"* degré' en Xy t/, 2, égal^ ^
une constante c, Téquation du plan tangent est
, (/F rfF rfF , ^,
dx ^ ^ dy ^ dz
et la distance de Torigine au plan tangent, J
ne
D = — . . . . (16).
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 209
Exemple.
>> 4 9
a- , xf '*
;oit F=-- + — -|--- — 1=0. (Equation de l'ellipsoïde.)
a t
)n a rfF ^ 2x rfF 2y rfF 2«
«lac o* rfi/ t* rf^ c* '
en remplaçant ces dérivées par leurs valeurs, on tire
îcessivement :
i° De l'équation (15),
2x , 2y 2z
o" 6- c*
xx' VV' ^^'
« 6 c
ir réquation du plan tangent.
-•* Des équations (9),
x' — X î/' — y z' — z
2x 2i/ 2z
^ F 7
a*(x'-x) 6' (y— y) c^z'-z)
X y
^r les équations de la normale.
►* Des équations (10),
cos a cos p cos y
2a: 2.y
22
a* 6*
r
cos a cos P
cosr
X y
j;
a' b'
1
ur déterminer les cosinus directeurs de la normale ou
i angles du plan tangent avec les plans coordonnés.
14
iiO EXERCICES MtTBODiyiES
4« De réqualion (16),
D«
V
- + — H
D = 1
>/
f- - H —
pour la distance de Torigine au plan tangent.
f>o De l'équation (12),
a* U*~~Dp/ \?^Wpl "^ 6* le* Dp/U* Dpi
^ c* \6* DpJ W Dpi '
à cause de 11-=--. V = -|. W = --. D = ~;
a* 6* r R
dou w=--, 1=-. tu«-, R=-;
a* 6* r D
Cette (équation qui fournil les rayons de courbure prin-
cipaux devient, en divisant par
«•6*c*D«a*
(D^-a*)(Dr.-6^(Dp-0,
- -4 ^^ 1 = 0;
a^Dp^Q*) • 6* (Dp — 6*) • c*(Dp — c»)
ou encon^
Sous cette forme, on voit, par le dernier terme, que si D
n>nsorve la «u'me \^leur, le produit des rayons principau>'
i
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL.
âli
^° De l'équation (6), en tirant d'abord de Téqualion de
la siix-face
p — ^
c^ ^ c^y — y')
(fxy
c*(o* — «•)
Sl.9.3
oVz
^^^s, en substituant dans (6) ces valeurs, ainsi quecelle de;5*:
*'--c' IdyV Va^ — e 6* — c* 1 rfv
^— xy =0,
Poar rëquation différentielle de la projection des lignes de
' tîoiirbure sur le plan des xy.
7® Des équations (7), en y substituant les valeurs de p,
çr, r, 5, / :
a» ^ c*(6« — y») ^ 6* c*(a*— a*)'
pour les équations des ombilics.
Ces équations sont satisfaites par les valeurs
t^ = 0, x = zba\/ -^ , z = àzc\/ -5 . ,
coordonnées des quatre ombilics.
En écrivant l'équation du plan tangent sous la forme
x' y' z'
^ + r« + ?^^'
X y z
on voit que les coordonnées des points où ce plan rencontre
les axes sont
a* 6« c*
x' y' z
'iii EXERCICES MÉTHODIQUES
Le volume de la pyramide comprise entre le plan tangent
et les plans coordonnés est donc
2 X y 3 jz %xyz
L'aire de la portion de plan tangent limitée par les pians
(coordonnés est égale à ce volume divisé par le tiers delà
distance de l'origine au plan tangent, soit
û*6V 1 \
____ a^6Vy/a:' y^ z'
I^our déterminer le lieu des projections du centre de
Tellipsoïde sur ses plans tangents, il suffit d'éliminer x, y, :^
entre les équations du plan tangent et de la perpendiculaire
abaissée de Torigine sur ce plan. Or, les équations de cette
dernit^re ligne sont
a^x h* y' âz*
d\>ù
X y z
ixx hy'
cz _ l/fl V + 6*jy'* + c*z'
a h
z i
c
Multipliant respectivement les termes de l'équation du
plan tangent (var ivs quatre quantités égales, on obtient
|Hnir le lieu cherché
s' + y* u. r'^ == \/o*x'' + 6y^ + cV%
(^) nation de la surfiuv d élasticité.
{ . IMan uujixMU au ix^noîde
x\- — «y — rV = 0.
l '<\;uAî or. .:t* vv plan c-^t
i
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 213
^^^^^:and « = r, y = 0, et l'équation du plan est z' = r,
^^ Plan tangent à la surface dont l'équation est
{ • y
az = arc sin — ^zzzz:
^n trouve pour équation de ce plan
2«« «v — xy') + [z' — z) (x* + ï/-) a^ «= 0.
3. Plan tangent à la surface d'élasticité
aV + 6*^^ + cV = (x^ + y' + zj
et distance du centre à ce plan.
En posant r* «= a:' + 1/* -f- z^, l'équation du plan tangent
est
(2r* — a*) XX' + (2H — 6^) yy' + (2r^ — c*) zz' = r*.
La distance du centre à ce plan est
(X* + .y^ + zy
V/ûV + 6*^^ + c'z'
4. Point où la normale à la surface de révolution
z =» cp(^* -f- j/*) rencontre l'axe des z,
dx
L'ordonnée de ce point est z' = z 4- x -— •
az
5. Tous les plans tangents à la surface ;s=a?(p(|] passent
par un même point.
L'équation de tout plan tangent est
•■-'=î<«'-')+(^^)'-(i)-
et l'on voit que pareil plan passe par l'origine.
z = ^<p(|) est en effet l'équation des surfaces coniques
dont l'origine est le sommet.
âH EXERCICES MÉTHODIQUES
6. Ordonnée du point où le plan tangent à la surface
dont l'équation est
rencontre Taxe des z.
L'ordonnée du point cherché est
z'^(m+i)Vx' + y* + z*;
elle est donc proportionnelle à la distance du point de
contact à l'origine.
7. L'équation d'une surface étant z {x* + j^*) = a', cher-
cher Taire de la portion de plan tangent limitée par les
plans coordonnés.
L'aire cherchée a pour expression
¥xy?Tt^
dans laquelle r* ■« ic* + y*.
8. Volume de la pyramide comprise entre les plans
coordonnés et le plan tangent au cono-cunetis de Wallis.
ay — xy — cV = 0.
On trouve pour expression du volume cherché :
xy
xsin
6c'*z(ar* — a*)
9. Angles du plan tangent à l'héliçoïde déveioppable
"4X a J+^^^^LX a J*
avec les plans coordonnés.
En posant "Inz (x* + y* — a")«
h a
on trouve
A(asin9 — x)
«,
ces a
l/(x'+y^-«*)(*' + 4irV)
cos p
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 415
h(a COS e — y)
l/(x* + !/* — a*) (A* + iir V)
2air
cosr =
l//.* + 47rV
lan tangent fait donc avec le plan des xy un angle
it.
i^lan tangent à l'héliçoïde gauche
X cos nz — 1/ sin /iz «a ,
nce de l'origine à ce plan. — Rayons de courbure
aux de la surface.
^présentant x* -j- </* par r^ on obtient :
équation du plan tangent,
xy' — x\y + nr^z' — z) = 0.
la distance de Torigine à ce plan,
nrz
l/i + n*z*
l'équation des rayons de courbure principaux,
wy — (i + riV)* = 0.
^ieu des projections de l'origine sur les plans tan-
la surface dont l'équation est
xyz = a' ;
de courbure principaux, ombilic et lignes de cour-
5 cette surface.
eu est a?* + «/* + ;s* = 3o*, sphère dont le rayon est
lalion des rayons de courbure principaux,
P* + 2(x' + t/*-{-0^+— =0.
îoordonnées de l'ombilic, x = (/ = ;2 = a.
^216 EXERCICES MÉTHODIQUES
L'équation différentielle de la projection des lignes de
courbure sur le plan des xy,
x\xy - a') (^)' + ^x'rif- - ^') ^ - y'(*V - «') = ^'
12. Eléments principaux du paraboloïde elliptique
^^ — z=0.
Le plan tangent est
xx' . vv'
a
Les équations de la normale
a(x' — x) b(y' — y) z — z
X y — i
Les cosinus directeurs de la normale sont fournis ?^^
les équations
ces a cos j3 cos y i
a 6 V a* ^6*^
La distance de Torigine au plan tangent est
z
I) =
V
L'équation des rayons de courbure principaux,
, z o5z*
,o*-(a + 6 + 2z)-p + — = 0.
Les coordonnées des deux ombilics sont, en supposant
a> b,
x = 0, .v = dzl/6(a — 6), z =
a — 6
2
et, pour a < fr,
y = 0, x= ±l^''a(6 — o), « =
6 — a
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. -217
L'équation différentielle de la projection des lignes de
ourbure sur le plan des xy est
axy f -^ j + [6x* — ay^ + a6(a — b)] ^ — bxy = 0.
13. Point singulier de la surface dont Téquation est
(x« + y* -t- z^f = a'x' + by — c'z\
On trouve, en posant x* + y^ -f" ^* = ^*»
2x (2r* — a*) , V = 2y (2r* — 6') , W = 2« (2r* -f- c* j ,
2 (2r^ — a*) + 8x*, v == 2 (2r* — 6*) + 8 »/^ w = 2 (Sr** + c*) + z*,
^t/^, v' = 8x2, ti;' = Sxy.
Les équations U = 0, V=»0, W = sont satisfaites pour
= 0, j/ == 0, ;8 = 0, et ces valeurs satisfont aussi à l'équa-
on de la surface.
L'origine est un point singulier et Téquation du lieu de
>utes les tangentes à la surface en ce point est fournie par
équation (14) en substituant à U, V, W, u, v, iv, u\ v\ w'
i que deviennent ces dérivées pour x = 0, y = 0, et 2 = 0.
^ïi trouve
aV + 6y — cV=0,
quation d'un cône dont le sommet est Torigine.
14. Point singulier de la surface dont l'équation est
z(x' + y' + z') + ax'+by' = 0.
L'origine est un point singulier et l'équation du lieu des
gnes tangentes en ce point est
ax* + 6y' = 0,
quation qui ne peut représenter que l'axe des z.
âl8 EXERCICES MÉTHODIQUES
13. Points singuliers de la surface des ondes czzâont
réquation est
— 6«(o* + c») y* - c«(a* + 6') z^ + o*6V — 0.
Quatre points singuliers dont les coordonnées sont
L'équation du lieu de toutes les tangentes en ces points
est
X* a* — c^ ^ z* a* + c* xz
(Hamilton.)
CHAPITRE XVI.
COURBES GAUCHES.
Les équations de la courbe étant
ses principaux éléments se déterminent au moyen des
expressions suivantes dans esquelles x\ y\ z' désignent les
coordonnées courantes et x, y, z celles du point de contact
de la tangente :
Tangente.
x' — X y' — y z' — z
dz dz
DE GALCIL DIFFÉRENTIEL. â19
Dérivée d'un arc de courbe. — En représentant Tare
P«i.r 5, on a
î-vmM
+ i . . . . (2).
Ck)sinus directeurs de la tangente. — En désignant par a,
H9 Y les angles de la tangente avec les axes,
dx dy dz
COS a sa -7- 1 cos ô = --- ^ cos y s=» -— . . . (3).
ds ds ds
Plan normal.
Plan osculateur.
s . .à^y . , ^JP . , . V [dyd^x dx(Pu\
Normale principale.
x' — X y' — y z' — z
d*x d*y (Pz
H? 1? 1?
. . . (6).
Cosi7ius directeurs de la normale principale. — \ u, v
étant les angles que cette normale fait avec les axes et R
représentant l'expression
-\/(sr+(êr+(S)'.
on a d^x d^y d^z
rf«* rf»* c/«*
cos A = — » eos fi=s — » cos y = — . . (7).
H R R ^ '
Angle de courbure. — w représentant cet angle,
a=-Rrf» (8).
-220 EXERCICES MÉTHODIQIES
Rayon de courbure, — p étant ce rayon,
1
R ^'>-
• •«.<•••
Le rayon de courbure coïncidant avec la normale pr^iiî-
cipale, ses cosinus directeurs sont fournis par les équa-
tions (7).
Centre de courbure. — X, Y et Z représentant les coor-
données de ce centre, on a
ds'
^-^ + p'-77.
d^u .
Y = y + P^-^,' ) (10).
Lieu géométrique des centres de courbure, — Les équa-
tions de ce lieu se trouvent en éliminant x, y, z entre les
trois précédentes et celles de la courbe.
Axe polaire, — Les équations de cet axe sont
x' — X t/' — Y z' — Z
<Py
«Pjc
dy d'x dx d'y
ds*
dz^
dz dz* dz dz*
, . . (il),
équations dans lesquelles il faudrait substituer à X, Y, Z
les valeurs fournies par les équations (10).
Surface polaire, — L'équation de cette surface s'obtient
en éliminant x, j/, z entre les équations de l'axe et celles de
la courbe.
Arête de rebroussement, — Les équations de cette ligne
se trouvent en cherchant les courbes enveloppes (voir cha-
pitre XV1[) des projections des axes polaires. Si l'on connaît
la surface polaire, il n'est besoin que de chercher l'équation
d'une des courbes enveloppes.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. ±21
Développée, — L'équation de la surface polaire est l'une
<les équations de la développée. On trouve l'autre en élimi-
nant Xj y, z entre les équations de la courbe et les suivantes :
dl d^~~ i *
dï H
E, 71 et Ç représentant les coordonnées du point de contact
de la tangente à la développée.
Atujle de torsion. — e représentant cet angle,
P* (d^yd^x d^xf^y]^
e = ]d^Ad?d?~d?d?l'^'' • • ^*^^*
\Jzl
Exemple.
Les équations de l'hélice cylindrique sont
X == r sin — et w = r cos — ; d'où x* + ^ = r* ;
ar ar
r représentant le rayon du cylindre et a la tangente trigo-
nométrique de Tangle constant v que forme la courbe avec
les génératrices.
Dérivant, on a
dx y
dy X
dz ar
dz ar'
rf*X X
dz^ a'r'
dz' aV*'
d^x y
dz^ ah"" '
d^y X
dz' aV
En substituant les valeurs de ces dérivées dans les for-
mules rappelées plus haut, on détermine facilement les
éléments principaux de la courbe.
^sa EXERCICES MÉTHODIUIES
!• Tangente. — Des équations (1) on tire
x' — X y' — y z' — z
ar ar
20 Dérivée d'un arc de courbe. — La formule (2) donne
dz V a*r'^a*r*^ V a» sint
3** Cosinus directeurs de la tangente. — On a
dx y_
dx dz ar V ^ V
„^ -— __^^^___ -— i s_- i (.05 i;
rf» ^ ^ /T+v »• l/T+7' »•
d2
v^
dy
ds'
dz
~Ts
di
dz
ds'
~Ts
X
ar X \ X
« cosv,
r
d8_ Uj^a^ ^ 1/4 + «'
dz V "-TT-
1 1
— \/i±f! —
dz V fl» sinr
Donc, d'après les expressions (3),
sin v.
cos a-Bs-cos V, cosô = cos v , cos y = sln v.
r r
D'où l'on voit que la tangente fait avec l'axe des z un
angle constant.
4« Plan normal. — L'équation (4) fournit
(x'-x)£;-(y'-y)^ + (z'-e) =
ou l'y — ary + {2' — z) ar — 1 0.
I»E CALCCL DiFFËRELNTIEL. ât
5<> Plan osculateur. — En employant fëquation ^$\ on
t x^ouve
OU , r .
xy — xy (z — s) = 0.
u
G<> Normale principale. — A cause de -:^=a -4->
El,
par suite
k
X
d*jc
dz*
flV
o:
(/a*
(S'
tPy
1+a»
a'
r'(i+«»;
<^
dz*
--
aV
—
y
y
rf»*
1+0*
r»(l + a»)
— ClIS €'•
r
(Pis:
Vojr/
a
"d^'
= 0.
Substituant
ces valeurs dans les équations (G)
, on trouve
x'
X
v'
.y «' 2
X
KOS'l?
^'
BOS*»
ou x'y — art/' = cl z'^^z.
D'où Ton voit que la normale principale est parallèle h
l9i base du cylindre et rencontre toujours son axe.
7^ Cosinus directeurs de la normale principale. — On n
«-\ /(sr+(gr^ (sr
▼ f* r* r
â2i EXERCICES MÉTHODIQUES
Donc, à cause des formules (7),
cos A = —
X
-- cos' V
cos* V r
y 9
'— cosr V
r y
cos M = z — = — - »
cos V r
cos y =0.
La normale principale est donc toujours perpendiculai
à l'axe du cylindre, comme on l'avait déjà trouvé.
8® Angle de courbure. — La formule (8) donne
cos*i;
a = as.
r
La courbure est donc constante.
9*^ Rayon de courbure. — La formule (9) fournit
r
cos* y
10" Centre de courbure. — En employant la formule(1
on obtient
r* X
X = ar cos^y = — x lang* w = — a^x,
cos* V r*
r* y
y =y T .cos'u = — 1/ lang^u = — a-»/,
coî>*i; r*
11** Lieu géométrique des centres de courbure. —
éliminant a;, y y z entre les équations du centre de courb
et celles de la courbe, on trouve très aisément pour
équations du lieu cherché
Z Z
X = — aV sin — et Y = — a^r cos — ;
ar ar
équation d'une autre hélice cylindrique, de même axe <
la première, le rayon du cylindre étant aV.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. â-25
12o Axe polaire. — Les équations (11) fournissent
x' — X y' — Y z'—'L
J^ -L _L
L'égalité des deux premières de ces quantités, après que
l'on y a remplacé X et Y par leurs valeurs, fournit pour
l'une des équations de l'axe polaire
tit l'on peut prendre pour autre équation de l'axe celle du
)lan normal
îtfy — xy = — [z' — z) ar.
13® Surface polaire. — Pour éliminer x, y, z entre les
deux équations de l'axe et celles de la courbe, il suflSt d'éle-
ver au carré les deux membres de chacune des équations
précédentes et d'ajouter, ce qui donne
a\z' — zf = x'^ + y* — oV.
De cette expression tirant la valeur de z, la portant dans
les équations de l'hélice, puis substituant les valeurs de x
rit de y qui en résultent dans l'équation xx' -{-yy' =^ — aV,
Dn obtient pour équation de la surface polaire
x' sm ^-^
+ y cos ( ^ 1 + aV = 0.
14® Arête de rebroussement. — On a trouvé pour la
projection de l'axe polaire sur le plan des xy,
xx' + yy' = — ah'*.
Cette ligne dont l'équation peut s'écrire sous la forme
z "
X* sin [- v' ^-'os — = — aV
ar ' *^ ar
15
!^iC bXKRCICtS MÉTHODIQUES
a pour courbe enveloppe
x' -|- y'* = aV*. (Voir, chapitre suivant, hmof^
de trouver celle courbe.)
C'est Tune des équations de l'arête de rebroussemc^^
L'autre est Tëquation de la surface polaire, que l'on p^*^^
écrire à cause de Téqualion précédente,
z' z'
x' sin [- y' cos — = — aV.
ar ar
Ces deux équations de Taréte peuvent facilement s'obt
nir sous la forme
^' • «'
x' = — arr sin — et y' =» — a r cos —
ar ar
D'où l'on voit que les équations de l'arête se confondem *
avec les équations de l'hélice trouvée comme lieu géom^ -
trique des centres de courbure.
15*> Angle de torsion. — La formule (12) donne
sin 2t7
!2r
ds.
Remarque. — Quelle que soit la forme des équations de
la courbe gauche, on tire de celles-ci les valeurs de^*
df' dî^' ^^^•» ^^» P^^ substitution de ces valeurs dans les
formules générales, on détermine les éléments de la courbe.
\. Déterminer les éléments principaux de l'hélice cylin-
drique dont les équations sont
z z
X = — a r sin — » y = — aV cos —
ar ar
Ce sont les équations de la ligne des centres de courbure
de rhélice prise comme exemple. Nous laissons aux élèves
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 227
^ft résoudre cette question et de comparer les résultats à
iftux qui ont été obtenus.
%. Tangente, plan normal et plan osculateur de la courbe
gsiuche formée par l'intersection de deux cylindres droits
dont les axes se coupent rectangulairement.
Les équations de la courbe étant
a:* + z*=tt* et t/*4-2*c=//,
[ on trouve :
Pour les équations de la tangente,
xx' -f- zz' = o*,
yy' + zz' = 6».
Pour équation du plan normal,
X y z
Pour équation du plan osculateur,
6Vjc' - aYy' + (a* — 6*j z^z' = a'6*{a* — 6*).
3. Tangente et plan normal de la courbe formée par l'in-
tersection d'une sphère et d'un ellipsoïde concentriques.
(Ellipse sphérique.)
Les équations de la courbe sont
a=* + y» + z'=r« et '^^ + l + 'l=i.
a c
Dérivant chacune de ces équations, on obtient
dx dy
X dx y dy z
Résolvant ces équations dérivées par rapport à ^ et ^,
on trouve
dx a*(6« — c*) z (ly ___ //fc* — a*) z
dz ^ c*(a*— 6*jx ^^ dz" (^{a' — b^jy '
ââ8 EXERCICES MÉTHODIQUES
Par substitution de ces valeurs, on obtient pour les équa-
tions de la tangente,
x(j'— x) ^ y(y—y) ^ z{z' — z)
a«(6« _ c«) "" 6*(c* — a*) ^ (^(a*— h*) '
et, pour équation du plan normal,
X y z
4. Tangente et plan normal de la courbe formée pa
l'intersection de deux cônes droits dont les axps se coupent
rectangulairement.
En prenant pour origine le point de rencontre des axes
des cônes et les directions de ces droites comme jixes des xet
des y y si l'on représente par A, h' les distances des sommets
des cônes à l'origine et par m, m' les coefficients angulaires
des génératrices, on obtient pour équations de la courbe
A — X =3 m V^y' + z*,
h'— y « m'l/x« + z*.
Les équations de la tangente sont
x' — X y' — y
m*z[{m'* +i)y — h''] m'h[{m* + 1 ) x — A]
z — z
(h — x) {h' — y) — w*m'*xy '
celle du plan normal,
w»2(x'— x)[(m'*+i)y — A'] + m'«jr(t/'— t/)[(m*+i)x — A]
+ (2' — z) [(h - x) (A' — y) — m*m'*xy] = 0.
5. Dans la courbe qui résulte de l'intersection des deux
cylindres paraboliques
x'=2az et t/* = 26£,
on trouve
x'— X y' — y z' — z
~^ h ^ T"
X y
pour équations de la tangente;
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. î229
a , b
X y
pour équation du plan normal ;
bx
y' = — x'
ay
pour équation du plan osculateur.
On trouve encore
8
(a + 6 + 22)*
/"= -i —
(a + 6)«
et „ 2xz ,^ ^yz
a-^-b a + 6
6. Dans la courbe qui résulte de l'intersection des deux
cylindres, Tun circulaire, l'autre parabolique :
X* -j- z* = o* et y* = bzj
on obtient pour équations de la tangente
XX* + «^' = 0*1
b * y
Les coordonnées des points où le plan normal rencontre
les axes sont
l>x , b
X ^. y=y et z=-.
Le plan osculateur rencontre les axes aux points dont
les coordonnées sont
z'{a' + z*)
X = X z >
x'
y' = Tzr-_lz>' + ^'} - ^'l
b
Aa\ijz
z(2a' + X*)
230 EXERCICES MÉTHODIQUES
L'expression du rayon de courbure est
3
(4oy + b^x^f
2ab l/4oy (4z« + t/») + 6V(4z* + x*)
7. Dans la courbe qui résulte de l'intersection de la
sphère et du cylindre dont les équations sont
x«_(-^«-j_2« = r* et {x — 6)* + y* = a*,
on obtient pour équations de la tangente
«'-^ y (y' — y) ^' — ^
La longueur de la portion de tangente comprise entre le
point de contact et le plan des xy est
h
Pour équation du plan osculateur, on trouve
{x'—x) 6[aV— 6y Va^ - y*]— (y'- ,y)6y-|-(5 — z)aV=0.
Au point de la courbe dont les coordonnées sont
iy = 0, x=.6 — a et z = [/r* — (6 — o)*,
ce plan devient
bx' + z' Vr" - (6 — af = r" ^ah-^c?,
c'est-à-dire parallèle à l'axe des y,
8. L'hélice conique a pour équations
a*
^* + / = ^,(a-^)',
a représentant le rayon de la base du cône; h, la hauteur
du cône;î;, l'inclinaison constante des tangentes sur la base.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. ^231
En représentant par k la quantité
V
-cotg*v — 1,
ar
)n a dx ky — x dy kx -^-y
dz a — z dz a — z
D'oii, facilement, les dérivées d'ordre supérieur par rap-
3ort à ;5 et celle de l'arc de courbure
ds \
dz sin V
Les équations de la normale principale sont
ky — X
y' — y = T — \ — (x' — x) et z' = z.
kx + y
Le rayon de courbure a pour expression
k sin 2v
Les coordonnées du centre de courbure sont
y
X = — X tang'v,
K COS' V
X
Y = - 2/tang*i;,
k cos* V
Z = z.
Pour angle de torsion on obtient
k sin^v
ds.
a
Nota. — Nous n'avons déterminé que certains éléments
des courbes qui font le sujet des exercices précédents; nous
Bngageons les élèves à calculer les autres et à interpréter les
résultats de l'analyse.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. '■IXi
^^t b comme fonction de a, les équations (3) et (4) par
apport à fl, puis, entre les résultats obtenus, on élimine ^
On obtient ainsi une nouvelle équation entre a et b, puis,
entre cette équation et les équations (3) et (4), on élimine a
6t b. On emploie avec avantage dans ce calcul la méthode
du multiplicateur indéterminé.
Règles analogues pour déterminer l'enveloppe d'une
courbe dont l'équation renferme trois paramètres variables
liés par deux équations, etc.
Remarque. — Etant donnée l'équation (3), on peut se
proposer de chercher la relation qui doit exister entre a
et b pour qu'en remplaçant, dans l'équation proposée, l'un
des paramètres par sa valeur en fonction de l'autre, Tenve-
veloppe soit une courbe donnée
A^..V) = (5).
Pour obtenir cette relation, il suffit de tirer de chacune
des équations (3) et (5) la valeur de ^, de les égaler, puis
d'éliminer x et y entre l'équation résultante et les équa-
tions (3) et (5).
Les procédés sont les mêmes que les précédents pour
obtenir l'enveloppe d'une surface donnée.
Ainsi F(x, ^, jz, a)=»0 (6)
étant l'équation d'une surface qui renferme le paramètre
variable a, on obtient l'équation de l'enveloppe en élimi-
nant a entre (6) et la dérivée
rfF
284 EXERCICES MÉTHODIQUES
Quand l'équation de la surface est de la forme
F(x, y,z,a, 6) = 0,
sachant que y (a , 6) = 0,
il y a lieu d'opter entre deux procédés, etc.
Remarque, — Si entre les équations (6) , C^) et ^ =
on élimine a, on obtient les équations de l'arête de rebrous-
sement.
Enveloppe des droites déterminées par l'équation
a étant le paramètre variable.
On a _ p ,,,
F = y — ax— — =0 (i),
:2a
^= _ X + Po (2).
da 2a*
De l'équation (2), on tire
et, en substituant cette valeur de a dans (1), on obtient,
après réductions, pour équation de l'enveloppe, la parabole
RxeMi^le II.
Enveloppe de tous les ellipsoïdes de révolution repré-
sentés par l'équation
X* V* -r r*
o 6
les axes étant liés par la relation
«•+6^=.C* . l^V
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. . 235
Dérivant (1) et (S) par rapport à a, en considérant b
comme fonction de a, il vient
h ^— L = (3),
dh
« + ^^==0 W-
Multipliant (3) par le multiplicateur indéterminé X et
retranchant (4), membre à membre, on a
X* r v' + ^* .1 '^fr
A-— a+ X'^^V ^\ T- = 0.
a» ^ L '> J ^a
D'où
A-- = a et A^— i — =»6.
Multipliant respectivement ces deux équations par a et b,
additionnant, puis tenant compte des équations (1) et (2),
on trouve A = fc*.
Donc ,,x' ,*y* + ^*
A:» _. = a et A-* ^^--^^ — = b.
a' 6*
D'où a» = =b )tx et 6* = d= A l/t/« + z\
Substituant ces valeurs dans l'équation (2), il vient
±x±: l/t/* + z* = A;
pour équation des enveloppes.
Exemple III.
Quelle relation doit-il exister entre les paramètres a et ft
de la ligne de droite
X y
- + 7=1 (I)
a b
pour que l'enveloppe soit le cercle
x'+»/«=r» (2)t
236 EXERCICES MÉTHODIQUES
De (4), on tire
de (2),
dx
dl
dx
dy
a
X
y
Egalant ces valeurs de ~, on a
dx
X h
y «
(5).
bi
a
Or (3) donne ^ == -f et, par substitution de cette valeur
de X dans (1), on trouve
y
et, par suite,
X =
a^ + 6*
Substituant ces valeurs de x et de t/ dans (2), on trouve
pour la relation cherchée
La. ^ —1
MSat^w^ic99m
1. Enveloppe des paraboles représentées par l'équatioi^
= ax — x%
hh
a étant un paramètre variable.
On trouve pour équation de l'enveloppe cette autre para-
bole
x« = 4/»(A-y).
La parabole proposée est celle qui est décrite dans le
vide par un point matériel pesant, a représentant le coeffi-
cient angulaire de la direction de la vitesse initiale avec
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL 237
l'axe des x et les ordonnées étant prises en sens contraire
de la pesanteur.
2. Enveloppe des ellipses représentées par l'équation
a étan t le paramètre variable.
L'équation de l'enveloppe est
1 ï 1
3. Enveloppe des cercles représentés par l'équation
les paramètres a et !» étant liés par la relation b* -» 4ma.
On trouve pour équation de l'enveloppe
y*c=^m{x + m).
4. Enveloppe des droites représentées par l'équation
a à
les paramètres a etb étant liés par la relation
a b
-+-=1.
m n
L'enveloppe a pour équation
^ m ▼ n
5. Enveloppe des ellipses représentées par l'équation
a 0*
a et b, paramètres variables, étant tels que
ar 6«
m nr
"2:^8 EXERCICES MÉTHODIQUES
On obtient pour équation des lignes enveloppes
m n
Quatre lignes droites.
6. Enveloppe d'une droite de longueur constante qui se
meut en s'appuyant sur deux axes rectangulaires.
En représentant par / la longueur de la droite et par a, b
les distances de l'origine aux points où elle rencontre les
axes, la question se ramène à chercher l'enveloppe de la
droite
X y
a
a et b, paramètres variables, étant liés par l'équation
L'enveloppe est représentée par l'équation
s « «
x' + y' = l\
7. Enveloppe des cordes joignant les extrémités des
diamètres conjugués de l'ellipse
.r' et y' étant les coordonnées de lextrémité de l'un des
diamètres, -^ y* ei — - x' sont celles de l'extrémité de l'autre
et la corde a pour équation
ar'(y--x: — y {ar + ^)y + a6 = 0.
La question est donc ramenée à chercher l'enveloppe de
toutes les cordes représentées par Téquation précédente,
y et y'y paramètres variables, étant liés par la relation
or - f/ '
t « 1" •
i40 EKERGlGIilS MÉTHODIQUES
Si par le point (o, b) on mène deux tangentes à l'ellipse,
la corde des points de contact est
ax hfj
m* /*'
On doit donc chercher l'enveloppe de toutes les cordes
l'eprésentées par cette dernière équation, a et b étant liés
par la relation
Aa* + ^Bab + W + 2Dfl + 2E6 + 4 = 0.
On obtient pour équation de l'enveloppe
^C-E«)f!-2(B-I)E)-^,+(A — D«)^ + 5(CD-BE)^,
m* fH*nr rr m
+ S(AE— BD)^-f AC — B« = 0.
La question que Ton vient de traiter est un cas parti-
culier du problème général des polaires réciproques. (Pon-
OELET, Annales de Gergonne, vol. VIll.)
iO. Le centre d'un cercle variable se meut sur l'axe des x.
Quelle relation faut-il établir entre l'abscisse du centre et
le rayon pour que lenveioppe soit une droite passant par
Torigine?
Si>ient (x — «)* + y* = 6*,
rèquation du wrcle et ivlle de la droite.
On tnvu>^ |K>ur h rvlaiiou cherchée
i
II. Mt^iwo pK>hlt^nu^ en 5up(v>sant que Tenveloppe du
JT* %*
;^-. V I —
n* n*
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 3^
42. Même question en supposant que l'enveloppe du
cercle variable doive être la parabole
La relation cherchée est
6» = p(2a — /}).
13. Même question, l'enveloppe du cercle devant être
l'hyperbole
La relation demandée est
\ nv -\-nr I
14. Enveloppe de toutes les normales à la parabole dont
l'équation est j/* = ^px.
L'équation de la normale à la parabole proposée est
y —y= — (x — . x).
p
11 faut donc chercher l'enveloppe de toutes les droites
représentées par cette équation, les paramètres variables y
et X étant liés par la relation
y» = Spx.
On trouve pour équation de cette enveloppe
'-,-[^]
C'est réquation trouvée pour la développée de la para-
bole î/' = 2;?x. (Voir chapitre XIV, section II, exemple I.)
On sait, en effet, que l'enveloppe de toutes les normales
à une courbe est la développée de cette courbe. Les ques-
tions proposées sur les développées pourront donc servir
d'exercices pour la recherche des lignes enveloppes.
16
Ui EXERCICES MÉTHODIQUES
45. D'un point émanent dans toutes les directions d'un
même plan des rayons de lumière. Ceux-ci étant renvoyés
par une courbe située dans le plan, déterminer l'enveloppe
des rayons réiléchis.
En prenant pour origine le point de départ des rayons
et désignant par x, y les coordonnées du point où le rayon
rencontre la courbe; par a le coefficient angulaire de la tan-
gente à la courbe au point (x, y) ; par [jl la tangente trigono-
métrique de l'angle du rayon et de la tangente à la courbe
au même point (x, y); tenant compte d'ailleurs de l'égalité
des angles d'incidence et de réflexion, on trouve pour équa-
tion du rayon réfléchi au point (x, y)
L'enveloppe du rayon s'obtiendra du reste par les pro-
cédés ordinaires.
Ainsi, la courbe réfléchissante étant l'ellipse
dont un des foyers, pris pour origine, coïncide avec le
point lumineux, on trouve aisément
__ 6» {X — e)
a* y
6*
«y
et, par suite, pour équation du rayon réfléchi,
y'-y=ï^3:^(^'-^) .... (2).
Ensuite en considérant, dans cette équation, x ei y
comme deux paramètres variables liés par la relation (1),
on verra que l'enveloppe se réduit à un point
c'est-à-dire au second foyer de l'ellipse.
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 243
L'exercice traité a rapport au Problème des caustiques
par réflexion, si important en optique.
16. Enveloppe des sphères représentées par l'équation
n*
a étant un paramètre variable.
L'équation de la surface enveloppe est
m* -f" ^* ''^
celle d'un ellipsoïde de révolution.
17. Enveloppe des plans passant par un point donné et
tous à égale distance d'un second point donné.
Soient pris pour origine le second point donné et, pour
axe des z, la droite passant. par les deux points; on aura à
chercher l'enveloppe des plans
ax + 6y -{- « = m ,
les paramètres variables a et b étant liés par la distance p
de l'origine à chacun des plans, soit par l'expression
m
\/a» + 6* + 1
L'équation de l'enveloppe est
(m* — p*) (x* -t- tf) - p\m - zf = ;
celle d'un cône à base circulaire.
18. Enveloppe d'une sphère donnée dont le centre se
meut sur une circonférence aussi donnée.
Il faudra chercher l'enveloppe des sphères représentées
par l'équation
(x-a)' + (y-6)' + z« = R«,
les paramètres variables a eib étant liés par l'équation du
cercle
544 K^ERCICl S xMÉTHODiyl'ES
On trouve pour enveloppe
équation du tore.
d9. Si l'on coupe un hyperboloïde à une nappe par un
plan et que, par tous les points de la eourbe d'intersection,
on mène des plans tangents à l'hyperboloïde, quelle sera la
surface enveloppe des plans tangents?
Soient x* . t/* r*
et Ax + Btj + Cz^D
les équations de l'hyperboloïde et du plan sécant.
Celle du plan tangent à l'hyperboloïde est
xx' y y' zz'
et c'est de ce plan qu'il faut chercher l'enveloppe; a:, y et 2
étant trois paramètres variables liés par les deux équations
précédentes.
Différentiant les trois équations par rapport à x, y, z, on a
xdx ydy zdz
kdx + B(/y + Cdz = 0,
x'dx . ydy zdz
Multipliant respectivement ces trois équations par \ \ et
[JL, ajoutant, puis égalant à les coefficients de dx, dy et dz,
on obtient
a' ar
^r. + f'Ti+B-o,
Multipliant de même ces trois dernières équations par
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 8i5
x, y, z et ajoutant, on trouve en tenant compte des équa-
tions de l'ellipsoïde, du plan tangent et du plan sécant
A-|-p + D==:0; d*où A = — fx— D.
Substituant cette valeur de X dans les équations précé-
dentes, il vient
Ao* — Dx = fL(x — a:'),
B6» — D(/ = /.(y — y'),
— Ce*— D^=A*(^ — -?').
D'où
X — x' y — y' 2 — z* z' — z
Aci*— Dx B6*— Dy — Ce*— Dz Cc*-j- Dz
Multipliant les deux termes de chacun de ces trois rap-
ports égaux respectivement par ^» |i,^, on trouve, en vertu
d'une propriété connue des suites proportionnelles et après
réduction,
(x'* t/"* z"^\
Ax'+By' + Cî' — d""^'
et, en multipliant les deux termes de chaque rapport res-
pectivement par A, B et G,
D— (Ax' + By' + Cz')__
A V -f- B*6* — C V - D' ~ ^'
Eq égalant ces deux dernières valeurs de jx, on obtient
o* "^ 6* e* A*tt* -f- B*6* — C V — D* '
C'est l'équation de la surface cherchée.
Si la surface donnée eut été celle de Tellipsoïde
X* y* z*
a* ^ 6* ^ c* '
On aurait trouvé pour équation de l'enveloppe
^" , y'" , ^" I - 1-'^ ~ ^^^^ + ^y' + ^^^)]'
a* "^ 6* "^ e* A*a* + B*6* + CV — D* *
t46 EXERCICES MÉTHODIQUES
20. Enveloppe des plans représentés par réquation
Ax + By + Cz=D,
les paramètres variables A, B, C et D étant liés par les rela-
tions
A*-f-B*-|-C* = l,
A* B* C*
1 1 = 0.
D* — o* ^ l)« — 6* ^ 1)* — c*
Différentiant les trois équations précédentes par rapport
à A» B, C; multipliant respectivement les équations résul-
tantes par X, u et 1 ; puis égalant à les coefficients de dÂ,
itfB« (iC« rfO« on trouve
--v-+i^, (•).
, , C ...
Xi — O-rin^ ; ^•^''
D — r*
MlilUîiJbiii n(t${f^*tiwiiiettt ^1\ 2« <H ^3 pir A, B, ^
vD=^ (^\
)lu)l3f4aiil kt$ «iftèaM$ <\):»iiK«s for x« f , ^ additioo-
ttàtt) « TV|^«yiSïN*u:;>î jt* -r I' -^ ** P*r R\ il vient
Ajt !:« C:
|^_^* |v_r^ Ur—r"
». .V* ^ "^ ^
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 347
D'où, en vertu de (4) et de (^5),
A =
1 1
et, par suite, ti. = •
D(R'— D') '^ ' '^ R'— D'
Substituant ces valeurs de X et de [x dans (1), (2) et (3),
on trouve
X ' AD
1«
a^
D*
ri*
y
BD
R*
—
6«
D^
'—6*
z
CD
R« _ c' D^ — c*
Multipliant respectivement ces équations par x, t/, z et
ajoutant, il vient, en vertu de Téquation (6) et de la valeur
de \
x" tf z'
R* — a*^R* — c*^R* — c»
Cest l'équation de l'enveloppe cherchée; celle de la sur-
face de l'onde lumineuse se propageant dans un milieu
cristallisé. (Voir Fresnel, Mémoires de l'Institut, vol. VU.)
CHAPITRE XVIII.
DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES.
Soit ^r\ une fraction dont les termes sont des fonctions
entières et rationnelles de x, le degré du numérateur étant
moindre que celui du dénominateur.
La décomposition d'une telle fraction en fractions plus
348 EXERCICES MÉTHODIQUES
simples se fait en posant d'abord F{x) = et déterminant
les racines de cette équation.
1® Si les racines sont réelles et inégales, on écrit
f{x)^ ABC
a, b, c, etc., représentant les racines et A, B, C, etc., des
constantes à déterminer.
2® Si les racines sont réelles et égales, on pose
f{x) A„ A,_, A,
Z\""7Z — r;^ «"z — i^^i « T"
F (a:) (x — a)" [x — a)"~' x — a
(ar — 6)" ' (x — 6)" * ' x — 6
H î 1- (2),
l'équation F(x) = contenant n racines a, p racines 6,
g racines c, etc., et A», A«-|... A,; B^, Bp_,...B,; C„ etc.,
des constantes à déterminer.
3° Si les racines sont imaginaires et inégales, on écrit
f{x)^ Ax + B Cx + D gx + F
F{x) (x-«)* + ^«"*"(x — r)*^(y''^(x— .j' + ç*^"*^''^*
les racines conjuguées étant
a + pl/^^, (y + ^l/^^, U-j-çl/ITT,
flf — pV/— 1, (r— ^l/^^. (f — çl/— l,eic.,
et A, B, C, D, E, F, etc., des constantes à déterminer.
4° Enfin, si les racines sont imaginaires et égales, on pose
f(x) A„x + B„ A„.,x + B„., A»x + B.
F(x) [(a:-a/+^^]« ' [(x-.«r+p^]-* ' ' (fl:-a)'+P'
C^x + D^ (;_,x + D,.. C,x + D|
[(x-.r+ç?
1-77— ^rT^+--- • • (H
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL.
l'équation F(x) = renfermant n fois les racines
S49
p fois les racines
a — pi/—
q fois les racines
+ (îl/=^
r — dv —
, etc.,
et A„, B,, A,_i, etc., représentant des constantes à calculer.
Le calcul différentiel fournit ensuite, dans chaque cas,
le moyen de déterminer les constantes.
Dans le premier cas.
A = -
F'(«)
B =
f(b) ^, fie) ,
, C = -- — , etc.
F'(6) F'(c)
Dans le deuxième cas,
K=-f(a),A„_, j-, A.-. = -p:2"'- ^'==1.2.3 ...(«-!)
^P = f(^)y ^P'i = — ; — ' ^p-t = . ^ > •• • *^i
/•'-«(6)
1
1.3
d.2.5...{p-l)
C, = /■(c), etc.
Dans le troisième cas, on a pour (téterminer A et B
l'équation imaginaire
A(<x ± el/— 4- B =. ± 28l/— 1 . -î-^ ^ :
^ "^ ^^ "^ F'(«±pï/irT)
pour déterminer G et D,
^ ^^ F'(r=fcJl/=:T)
etc.
S50 EXERCICES MÉTHODIQUES
Dans le qualrième cas, on a, pour déterminer les con-
stantes, les systèmes d'équations
Et ainsi de suite.
Quand l'équation F (x) = fournit à la fois diflFérentes
sortes de racines, on écrit d'abord que la fraction proposée
est égale à la somme des fractions que l'on trouve en addi-
tionnant ceux des seconds membres des équations (i), (2),
(3) et (4) qui se rapportent aux diverses espèces de racines,
puis les constantes se déterminent par une suite d'équations
dont chacune a pour premier membre la fraction proposée
et, pour second, la somme des fractions relatives à une
seule sorte de racines. (Voir les Exemples V et VI.)
lix* — 70X + 98
En posant x* — 9Lr* -f- 2&r — 24=0, on trouve que cette
équation a ses racines réelles et inégales; x = 8, x=:3
elx«»4.
On écrit donc
lir* — TOx + îlS ABC
f- r4-
ar»-^^«-|.i6jr — 24 x — 2 ' x — 3 ' x— 4*
et cooiaie f(x\ î^ — TOr + 98
FV)""~5?^l8x + 26'
onoblMHil £2^ t2>2*— 70.2 + 98
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL.
254
et
Donc
F'(3) F'(4)
5.
i2x* — 70X + 98
' +-^+ '
at* — 9x* + 26x — 24 x — 2 x— 5 x — 4
(X - !)•
Exemple ii<
Puisque {x — 1)* = donne six racines dont chacune
est égale à l'unité, on pose
A« As A4
-TT- 7:;? +
{x—if (a:— !)• ' (x— 1)' ' (x— 1)*
A3 A* Af
(X — i)» ■ (x — \y
f /•(x)=x*+2x«+1,
/•'(x)=4x^+4x,
Or l'on a
/•"(x)=12x*+4,
/•'"(xl^Six,
^- (x)=24,
r (x)=o.
D'où
A.= AI) =4,
A4 =
1
1.2
8,
A =^11^4
' 4.2.3
As = . ^ , . == 1 1
A. =
1.2.3.4
r(i)
i .2.5.4.5
0.
Donc
(x»+i)*_ 4 8 ^
(X — 4)« (X — 1)« • (X— i)» ' (x-1)*
4 . 1
(x— i)' * (x — If
S5S KXËRCICES MÉTHODIQUES
■exemple III.
6jc* + 25x — 9
X* — i4x* + I07x* — 42î2x + 850 *
L'équation x' — 14x' + 107x* — 422a; + 850 =. fournit
les couples de racines imaginaires :
^5 + 5 l/ITT, i 4 + 3 l/^^,
(3 — 5 i/^T, (4 — 3 y/^^.
En conséquence, on écrit
6x* + î25x — 9 Ax+B Cx + D
+
X*— I4x*+I07x*— 42^2x-f-830 (x— 3)*-|-25 ' (x— 4)*+9
et comme, dans l'exemple actuel,
f(x)__ 6x'-|-25x — 9
F'(x) "~ 4x* — 42x* -[- 2Ux — 422 '
d'où fÇ^^^\/zr\^ ei\/zrT^e
K'^3 + 5 l/ITî) 20 — 30 l/ITT
l'équation qui sert à déterminer A et B (voir les équations
générales du troisième cas) est
^ ^ 20 — 301/^^
d'où Ton tire, par la méthode ordinaire :
A = —3 et n=-1.
On trouverait de même pour déterminer Cet D, l'équation
i33 + 2!9\/^^^
C (4 + 5 \/^^) + D = 6 1/— I
1021/— i —36
D'où C==3 et D = — 1.
Un a donc
6x* + 25x — 9 — 3x + 1 3x — I
x*-l4x»+i07x*-422x+850 (x-3)*-f 25 ' (x-4)*+9
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. S!S3
(x^ + ^Y
L'équation (x* + 4)' « = fo urnit deux couples de racines
imaginaires égales, it 1/ — 1.
On écrit, par conséquent,
2a;» — g' 4- 5x A^ + B, A|X+B,
(x'-f1)' "^ (x«-|-|)«+ x«+l ■
Hais ici f (x) = 2x* — a* + 5x,
et /''(a?) = r)x* — 2x + 5.
D'où
/•'(l/_i)«=-2l/— i — I.
La première équation générale du quatrième cas fournit
donc pour déterminer As et B, :
3l/— T + 1=A,l/^^-j-B,,
d'où A, = 3 et Bi = 1 ;
et la deuxième,
— 2 V^^ — 1 = 3 + (a, l/^IT + B.) 2 1/^^,
d'où A, = 2 cl Bi = — 1.
Donc
x(2x* — x + 5) ^ 3x + I 2x — I
(x* + iy ""(x«+1)*'*"x* 4-1 '
Remarque. — Dans le cas où l'équation ' F (x) = con-
tient des racines imaginaires égales, au lieu de déterminer
les constantes en se servant des formules générales, diffi-
ciles à écrire de mémoire, il serait mieux d'opérer comme
nous allons le faire au moyen de la fraction précédente.
SM EXERCICES MÉTHODIQUES
De l'équation de départ,
(a;«+l)« ""(x* + 4)'"*" x' + l *
8i Ton chasse les dénominateurs, on trouve
2x' — x*+5x = A,x + B,+ (A,x + B4)(x»+i),
et, par dérivation,
6x* — 2x + 5 = A, + (A,x + B|) 2x + A,(x*+ i).
Dans cette équation et sa dérivée, faisant x = V — 1, on
obtient
3 V/:^^ + 1 = A, V/ITT + B,
et _2V/irï_4«A, + (A,l/^IT + B,)2l/=T,
équations trouvées plus haut. Donc le reste du calcul,
comme précédemment.
X
(x + a)Vx*+a*)
L'équation (x + a)' (x* + «*)=» a deux racines réelles
et égales et deux imaginaires :
— o, —a, 4-al/— T, — al/— i.
Donc
J* A, , A, Ax + B
(x + ol* (x* + «*) (x + a)* ' x + a ' x* +o«
D oCi, pour déterminer les constantes, les deux équations
X* A, A,
ix^«.*U* + «*) C + û)* • x + a
jr* A x + B
^^ ^x + u • ^x* + «') "" ?~+^* "'
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. * S55
^u, les dénominateurs chassés :
ar«= A,(a:«-}- a«)+ A,(x + a)(a« + tt*) . (i)
H a;» = (Ax + B) (x + a)* (2).
L'équation (1) et sa dérivée, en faisant x = — a, four-
nissent
1 i
A,=:- et A, =
2 2a
L'équation (2), quand on pose x^ al/— 1, donne
1
A=-- cl B = 0.
2a
Par conséquent,
X* 1 1 X
(x + a)* (X* + a*) 2(x + a)« 2a(x + a) ' 2a(o* + o*)
KxcBiple 1^1.
x» — 2x + i
a:*(x — 2)(x*+i)*
Les racines de l'équation x* (x — 2) (x' -j- 1)* »= sont
0, 0, 0, 2, l/^^, —1/37, l/^IT Cl — l/l^
D'où
x»(x— 2) (x*+1)« x' ' X* ' X ' X — 2
BjX + C, B.x + C,
Donc, pour déterminer les constantes, on a les équations
x' — 2x+l As A, A,
x»(x — 2)(x*+1)* x' ' X* ' X
X» — 2x + 1 _ A
x*(x — 2) (x« -j- i)« "" X — 2 '
et x' — 2x + 1 B,x + C, B|X + C,
x*(x — 2)(a*+1)«""(x*+T)*"*' x*+1 '
2S6 EXERCICES MÉTHODIQUES
OU, après avoir chassé les dénominateurs :
a:* - Sx + 1 — A^(x — 2) (x«+ \ f + A^ (x - 2) (x*+i ^
+ A,x«(x — 2)(:r*+l)« (l>^
X* — 2x+i =Ax'(x*+ I)* (2),
et X* — 2x + 1 = (B,x + C,) x'(x — 2)
+ (B,x+C.)(x-2)(x*+i) . . (5).
Si Ton fait a: = dans Téquation (1) et ses deux pre-
mières dérivées, on trouve
1 5 1i
As = » A, = - et A| = ^
2 4 8
Si Ton fait .r = 2 dans l'équation (2),
1
A = — •
40
Si Ton fait x-=l/— 1 dans l'équation (3) et sa dérivée,
Bj = — < , C, = — 1 ,
7 ^ ^
Bi= . Ct =
5 5
On a donc
X* ~ 2x 4- i J^ 3 n 1
x'(x — i)(x«+ <)• 2x* "'' 4? "^ 8x "^ 40 (x — 2)
X + I 7x + 4
~(x«+M«~5(x»+i)'
X* . o«
*• ^t^(„^6)x + o6""''^(6— fl)(x-{-a)'^(a— 6)(x+6)
«i(7ji*— 28ax + 24a*) « . 3a , 4a
i — : — ^= 1-
jr>^-7«jf»-|.|4««x— 8«* X — o x — 2a x — 4a
3.
DE CALCUL DIFFËRENTIKL. ffîT
I
+
(1/6 — l/i) (l/r— l/ï) (x+l/â)
i
(l/^ - 1/6) (l/c - 1/6) (x + 1/6)
4
"*■ (V/a - l/^) (1/6 - 1/^) (x + l/c)
360a*— i26x + n 8 15 24
^- ^T-^ — 7:n; — ïr~rT = in — . +7r- — ; +
24a;3 _ 10a* — 3x + i 2x — 1 ' 3x — 1 ' 4a: — 1
a*— 1 3 4,1
(x+2)' (x + 2)' (x + 2/ x + 2
a:*— xl/â+3 2a + 3 3 l/â ,
(x+\/â)' (x+l/âj (x+l/â)* (^+1/^7
(a+6x)" (2q)" i?i (aor-* m(ffl— i) (2ar-'
• (ii_6x)'' ""(a— 6x)" '*"T (a— 6X)"-*'' 1 .2 (o— 6x)"-'
iii(in — 1)(»w — 2)„ (20)—' .
H 6' ; ; + etc.
^ 1.2.3 a — 6x)-^'^
8.
(a — 6x)*
X X
a*— (a + 6)x*+û6 (6~a) (a*+a) (6— a) (a*+6)
2(x*+1) 1
Kîr+^ {'-'è^
12x* — 7x + 2 4x — 3 2(8x— 5) 4x — 5
0.
4x«+2ia*+2ia*+4 3(a*+1) i5(a*+4)
1 u
(•■+1)
17
%iS EXERCICES MÉTHODIQUES
(4a['+4a:+17)' r/ ^x^* n« ■ / i\*
[('+D"h-^I h'^
5)+'
x' + 4jr' + 7x — 4 __ 4(x — 4) 2x x
^^* (x^ + 1)* "" (^M-*7 (:r^ + i)' "*" ^H^
X* — X + 1 2x 1
(x^ + x + 1)' (X- + X + 4)' ' (x* + x + i)^
5x"— 7x 1 i 1 2
X*— 3x'+x*+3x— 2 (x— I)' X— 4 x+i ' x— 2
,^ ^* + 1 i ^ , ^ + ^
i 5. = ■
X** + X* X* X* ^ X* + 1
i8x''+5x^ + 58x'-+x-4-57x — 16 X +2 3x + 4
a;«+4x*— X*— 4 ~" x* + 1 "^ x* + 4
X — 1 X -|- 1
n.-^= L_+_L_+ '
(x^ — lf 8(x + 1f ' 16(x + i)* ' 16(x + i)
8(x--1f ' iC(x — i)^ 16(x — i)
1 1 \ ^ \ ' \
x*(x*— 1) X* 4(x + 1) • 4(x — i) ' 2(1 +x*)
"x« + x* X* x«^x* + i
20.
X* a*
x' + (a + 26) x*+ 6 (2a + 6) X + ah" (a — 6)« (a + x)
6^ 6* — 2a6
(a — 6)(6+x)* ' (a — 6)*(6 + x)
1 i i 2 1
x'(1 — X)' (i + x) x' ' X* ' X ' 2(i— x)*
7 1
+
4(1 -x) 4(1 +x)
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 3S9
+_J +_J
23. f! ' I *
24.
ac* — 2x» + x* + x* — î2x + 1 Î2(x — i)'* ' 2(x— I)
x(l+l/2) x(i-l'^)
4(x» - xV/ï+l) 4(x'+xl/2 + i)
3x* — 2x' — 3x+i { \
x"*— x*+3x'— 4x*+3x — 1 (x*— x+1)* X*— x+i
2 2
+
25.
(2x + i)l/5 — 5 (2x+ 1)1/5 + 5
63x' - lOx* — 12lx* + i97x — 287 2x — i
(X* — 5x + Sf (x* + 7) (X* — 5x + 8)-
X + 5 X
26.
x^ — ^x + S ' x* + 7
X
^' 1
6x'
Ona
X
X
X
6
6
5 / —
a + bx' a , 3 R* + x^
- + x''
en faisant V/ - = R j .
L'équation R' + x* = a une racine réelle — R et deux
racines imaginaires ^zt^V — 3. D'où l'on trouve facile-
ment
X 1 x + R
a + bx^ 36R(x + R) ' 36R (x* - Rx + R*)
2«0 EXERCICES MÉTHODIQUES
27.
X*
On a
X* X*
X* 6 6 I £. • .
= en faisant
« + 6x* a , , R*+x*
6 + ^
et X X
\/î- ") .
a + 6x* 25R l/2(x*-Rx l/2 + R^
26R 1/2 (x*+ Rx 1/2 + R*)
X
28.
a+6x*
On a
x^ x^
a+6x» "" ^ " "" R»+ X* V
6+"
en représentant V/ - par R ) ,
ol Ton sait que les racines de l'équation R'+x* = peuvent
se tirer de Texpression
X = R cos ^ — -î— — db Ri/ — 1 sin ^ ^ '
5 5
en faisant successivement dans celte expression fc =0, 1, 2.
On trouve ainsi pour racines
x= — R,
X— Rcos^ifcRl/^^sin ^.
5 5
3ir , ■■' . DIT
.r = R cos — ±: R l — 1 sin — »
5 5
DE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 261
^^y en suivant les procédés ordinaires,
2a: cos 2R cos —
x' i 5 5
H
^ ^ ' 56R X*— 2RXC08
i+-)
StT TT
2x COS h 2R cos -
5 ^ 5
56r(x* — 2RJCC0S — +R*j
29.
a + 6x* -f- ex*
On a
i
1
c
o + 6x* -I- ex* a . ^ . .
^ ^ - + -X-4-X*
c c
et l'équation x* + - x^ + - === ^^
c
fournit x* = =fc — 1/6"^ — 4ttc.
2c 2c
Cela posé, si V^b* — iac est > 0,
on posera
^ — J_V/6^_4ae=M
2c 2e
et -L + JL l/6^_ 4rtc = N ,
2e ' 2c
et, par suite.
1
c Ax+ B Cx+ D
+
- + -X* + X*
c c
ûm KXKKCICKS MÉTHODIQUES
cequi fournira, par le procédé employé dans le troisième cas,
+
a + bx^ + cx' c(N — M)(a;- + M) ' c(M — x\) (x* + N)
Si, au contraire, on a Vb* — iac < 0, on opérera comme
suit :
i \^ \_
Ce c
a , b ^ a /â 6 R* — 2KVcosa + x*
-f2\/-x*X— — •
^ ^ ^ 21/^
;+:••+'• -.+V^'x::^+•'
en représentant
. */â 6
\/ - par R cl par — cos a.
Or, l'équation x* — 2RV cosa -f- R* = fournit pour
facteurs du deuxième degré
X' ±1 2Rx cos - + R*.
et, par conséquent, on posera
i
c Ax + B Cx + D
^ 1
-+-x» + x* x'— 2Rxcos--f R* X-+2RXC0S-+R
c^ c ^ 2 ' ' 2 '
Le procédé ordinaire donnera alors
i
D • *
Rsm a — xsm -
2
a +
bx^
+ CX*
2cR'
sinaix*
a
— 2Rx cos -
2
+
«■)
a
R sin a + X sin -
■
+
^
sin a(x*
a.)
2cR'^
+ 2Rx cos -
2
+
DE CALCUL DIFFÉHENTIKL -J63
ac"-^
30 , n étant pair.
X* — i
Les racines de x*" — 1 = sont fournies par Téquation
X = cos ±K — \ sin (/r =r 0, i, 2 ... etc.),
n n
ou, pour abréger, par
X = cos /ce =b 1/ — i sin /rô,
en faisant — = ^.
Pour fc = et fe = 2» ^^^ obtient a; = l etx = — 1; ce
sont les racines réelles de l'équation ic" — 1=0. Les autres
racines, toutes imaginaires, se trouvent en faisant succes-
sivement t = l, 2, 3 ... " — 1.
On posera donc
X"— i "" X — I "*" ar -|- i ^* [a- — âxcosA:
A:4 -f- J
^*
en représentant par ^ la somme des couples de racines
imaginaires correspondantes aux valeurs fc=l, 2,3 ... | — 1.
Le procédé ordinaire fournira ensuite
\ ( — '^ )" _|_ a V r^ ^^* ^^^^ — ^^® ^"^ — '* ^ ^^1 (
X — i "* x + 1 •" 4"* L X* — 2x cos k^ -(- 1 J (
Si n est impair, on trouve de la même manière
\ ^ fx COS /cmô — cos(97< — \\kf\
1-2\ ^ • —
X — 1 ^* L ^* — 2x cos A-ô -f- i J
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